求所有的无穷等差数列{an},使得对于一切正整数n,都有anan+1+a1=4Sn成立高三复习指导丛书,数学第41课等差数列,P84,第四题第三问
2019-06-25
求所有的无穷等差数列{an},使得对于一切正整数n,都有anan+1+a1=4Sn成立
高三复习指导丛书,数学第41课等差数列,P84,第四题第三问
优质解答
这有啥好问的呢
an=a1+(n-1)d,sn=na1+(1/2)n(n-1)d
由题意得
[a1+(n-1)d](a1+nd)+a1=4na1+2n(n-1)d
d²n²+(2a1-d)dn+a1(a1-d)+a1=2dn²+2(2a1-d)n
由多项式恒等得条件得
d²=2d
(2a1-d)d=2(2a1-d)
a1(a1-d)+a1=0
得d=0,a1=0或d=2,a1=0或d=2,a1=1
于是an=0,
或an=2（n-1）
或an=2n-1
这有啥好问的呢
an=a1+(n-1)d,sn=na1+(1/2)n(n-1)d
由题意得
[a1+(n-1)d](a1+nd)+a1=4na1+2n(n-1)d
d²n²+(2a1-d)dn+a1(a1-d)+a1=2dn²+2(2a1-d)n
由多项式恒等得条件得
d²=2d
(2a1-d)d=2(2a1-d)
a1(a1-d)+a1=0
得d=0,a1=0或d=2,a1=0或d=2,a1=1
于是an=0,
或an=2（n-1）
或an=2n-1