由于楼主要求,我再写详细点.
解法一：（数学归纳法）
因为n>2
所以
1、当n=3时,
左边>右边 成立
2、假设当n=k时,原不等式成立,则有
[1+1/3+...1/(2k-1)]>(k+1)/k*(1/2+1/4+...1/2k)
当n=k+1时
左边=1/（k+2）[1+1/3+...+1/(2k-1)+1/(2k+1)]>[1/(k+2)]*[(k+1)/k][1/2+...1/2k+1/(2k+1)]
由均值不等式,k(k+2)[1/(k+2)]*[(k+1)/k][1/2+...1/2k+1/(2k+1)]
>1/(k+1)[1/2+1/4+...+1/2k+1/(2k+1)]>1/(k+1)[1/2+1/4+...+1/2k+1/2(k+1)]
故命题成立.
解法二：
只需证明n[1+1/3+..+1/(2n-1)]>(n+1)(1/2+1/4+...+1/2n)·······(*)
(*)式左边=n/2+n/2+n[1/3+..+1/(2n-1)]
(*)式右边=n(1/2+1/4+...+1/2n)+(1/2+1/4+...+1/2n)=n/2+n(1/4+...+1/2n)+(1/2+1/4+...+1/2n)
比较上述两个式子,要(*)式成立,只需证明
n/2>1/2+1/4+..+1/2n ,
以及要证明1/3+1/5+...+1/(2n-1)>1/4+...+1/2n
此两个式子显然成立,从而（*）式成立,不等式得证. 由于楼主要求,我再写详细点.
解法一：（数学归纳法）
因为n>2
所以
1、当n=3时,
左边>右边 成立
2、假设当n=k时,原不等式成立,则有
[1+1/3+...1/(2k-1)]>(k+1)/k*(1/2+1/4+...1/2k)
当n=k+1时
左边=1/（k+2）[1+1/3+...+1/(2k-1)+1/(2k+1)]>[1/(k+2)]*[(k+1)/k][1/2+...1/2k+1/(2k+1)]
由均值不等式,k(k+2)[1/(k+2)]*[(k+1)/k][1/2+...1/2k+1/(2k+1)]
>1/(k+1)[1/2+1/4+...+1/2k+1/(2k+1)]>1/(k+1)[1/2+1/4+...+1/2k+1/2(k+1)]
故命题成立.
解法二：
只需证明n[1+1/3+..+1/(2n-1)]>(n+1)(1/2+1/4+...+1/2n)·······(*)
(*)式左边=n/2+n/2+n[1/3+..+1/(2n-1)]
(*)式右边=n(1/2+1/4+...+1/2n)+(1/2+1/4+...+1/2n)=n/2+n(1/4+...+1/2n)+(1/2+1/4+...+1/2n)
比较上述两个式子,要(*)式成立,只需证明
n/2>1/2+1/4+..+1/2n ,
以及要证明1/3+1/5+...+1/(2n-1)>1/4+...+1/2n
此两个式子显然成立,从而（*）式成立,不等式得证.