1).1,2,3,4,5,6这6个数,以1开头的排列有A5(5)=120种.
现在想,上面这种排列与题目要求的排成一个圆,有什么对应关系.
首先,上面的任何一种排列,必然可以排成一个圆,也就对应了圆的一种排列；另一方面,以圈的方式的任何一种排列,都可以以1开头展开成前面的这种排列,并且只对应于一个这种排列.也就是说这是一种一一对应关系.
因为题目所求的排法有120种.
“至少两个偶数在一起的”的反方面是：“没有任何两个偶数在一起”,也就是2,4,6是被隔开的.那么还是按照前面的做法,我们来算算以1开头,并且偶数与奇数间隔的排列数目：
很容易A2(2)*A3(3)=12种.
（2）题目是有问题的,应该是求证：A（k,n）+（k+1）*A（k-1,n）=A（k,n+1）
很容易,直接代入提公因式就可以了.
A（k,n）+(k+1）*A（k-1,n）=n*（n-1）*...*（n-k）+(k+1)*[n*（n-1）*...*（n-k+1）]
=[n*（n-1）*...*（n-k+1）]*(n-k)+(k+1)*[n*（n-1）*...*（n-k+1）]
=[n*（n-1）*...*（n-k+1）]*[(n-k)+(k+1)]
=(n+1)*[n*（n-1）*...*（n+1-k)]
=A（k,n+1）
(3)用1,2,3,...,8表示这8个人,设6,7,8三人不能坐在一起.
以1排头,对2,3,4,5进行排列,形成了5个空,再将6,7,8插入这5个空中.
有A4(4)*A5(3)=1440
即为所求.
(4)同第一题,有A7（7）=5040种. 1).1,2,3,4,5,6这6个数,以1开头的排列有A5(5)=120种.
现在想,上面这种排列与题目要求的排成一个圆,有什么对应关系.
首先,上面的任何一种排列,必然可以排成一个圆,也就对应了圆的一种排列；另一方面,以圈的方式的任何一种排列,都可以以1开头展开成前面的这种排列,并且只对应于一个这种排列.也就是说这是一种一一对应关系.
因为题目所求的排法有120种.
“至少两个偶数在一起的”的反方面是：“没有任何两个偶数在一起”,也就是2,4,6是被隔开的.那么还是按照前面的做法,我们来算算以1开头,并且偶数与奇数间隔的排列数目：
很容易A2(2)*A3(3)=12种.
（2）题目是有问题的,应该是求证：A（k,n）+（k+1）*A（k-1,n）=A（k,n+1）
很容易,直接代入提公因式就可以了.
A（k,n）+(k+1）*A（k-1,n）=n*（n-1）*...*（n-k）+(k+1)*[n*（n-1）*...*（n-k+1）]
=[n*（n-1）*...*（n-k+1）]*(n-k)+(k+1)*[n*（n-1）*...*（n-k+1）]
=[n*（n-1）*...*（n-k+1）]*[(n-k)+(k+1)]
=(n+1)*[n*（n-1）*...*（n+1-k)]
=A（k,n+1）
(3)用1,2,3,...,8表示这8个人,设6,7,8三人不能坐在一起.
以1排头,对2,3,4,5进行排列,形成了5个空,再将6,7,8插入这5个空中.
有A4(4)*A5(3)=1440
即为所求.
(4)同第一题,有A7（7）=5040种.