一道高中数学公式证明题求证三角形的面积公式的向量求法.已知S=0.5|向量a×向量b|=0.5|a||b|sinθ求证若向量a=(x1,y1),向量b=(x2,y2)S=0.5丨x1y2-x2y1丨
2019-05-23
一道高中数学公式证明题
求证三角形的面积公式的向量求法.
已知
S=0.5|向量a×向量b|=0.5|a||b|sinθ
求证
若向量a=(x1,y1),向量b=(x2,y2)
S=0.5丨x1y2-x2y1丨
优质解答
下面字母都是表示向量,本题关键是证明|a×b|=|x1·y2-x2·y1|
由S=0.5|a×b|=0.5|a|b|sinθ,得sinθ=|a×b|/(|a||b|),而cosθ=a·b/(|a||b|),所以由
sin²θ+cos²θ=1,得|a×b|²+(a·b)²=|a|²·|b|²,所以|a×b|²=|a|²·|b|²-(a·b)²,代入坐标运算,得
|a×b|²=(x1²+y1²)·(x2²+y2²)-(x1·x2+y1·y2)²=x1²·y2²-2x1·x2·y1·y2+x2²·y1²=(x1·y2-x2·y1)²
所以有|a×b|=|x1·y2-x2·y1|
下面字母都是表示向量,本题关键是证明|a×b|=|x1·y2-x2·y1|
由S=0.5|a×b|=0.5|a|b|sinθ,得sinθ=|a×b|/(|a||b|),而cosθ=a·b/(|a||b|),所以由
sin²θ+cos²θ=1,得|a×b|²+(a·b)²=|a|²·|b|²,所以|a×b|²=|a|²·|b|²-(a·b)²,代入坐标运算,得
|a×b|²=(x1²+y1²)·(x2²+y2²)-(x1·x2+y1·y2)²=x1²·y2²-2x1·x2·y1·y2+x2²·y1²=(x1·y2-x2·y1)²
所以有|a×b|=|x1·y2-x2·y1|