数学
国内某大学有男生6000人，女生4000人，该校想了解本校学生的运动状况，根据性别采取分层抽样的方法从全校学生中抽取100人，调查他们平均每天运动的时间（单位：小时），统计表明该校学生平均每天运动的时间范围是[0，3]，若规定平均每天运动的时间不少于2小时的学生为“运动达人”，低于2小时的学生为“非运动达人”．根据调查的数据按性别与“是否为‘运动达人’”进行统计，得到如下2×2列联表：运动时间性别运动达人非运动达人合计男生36女生26合计100（1）请根据题目信息，将2×2列联表中的数据补充完整，并通过计

2019-04-28

国内某大学有男生6000人，女生4000人，该校想了解本校学生的运动状况，根据性别采取分层抽样的方法从全校学生中抽取100人，调查他们平均每天运动的时间（单位：小时），统计表明该校学生平均每天运动的时间范围是[0，3]，若规定平均每天运动的时间不少于2小时的学生为“运动达人”，低于2小时的学生为“非运动达人”．根据调查的数据按性别与“是否为‘运动达人’”进行统计，得到如下2×2列联表：
运动时间
性别		运动达人非运动达人合计
男生36
女生26
合计100
（1）请根据题目信息，将2×2列联表中的数据补充完整，并通过计算判断能否在犯错误概率不超过0.025的前提下认为性别与“是否为‘运动达人’”有关；
（2）将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查该校的3名男生，设调查的3人中运动达人的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望E（X）及方差D（X）．
附表及公式：
 P（K2≥k0） 0.150.10 0.05 0.025 0.010 
 k0 2.0722.706 3.841  5.0246.635
K2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
，其中n=a+b+c+d．
优质解答
（1）由题意，该校根据性别采取分层抽样的方法抽取的100人中，有60人为男生，40人为女生，据此2×2列联表中的数据补充如下．
             运动时间
性别		运动达人非运动达人合计
男生362460
女生142640
合计5050100
由表中数据得K2的观测值k=
100×(36×26-24×14)2
50×50×60×40
=6>5.024，
所以在犯错误概率不超过0.025的前提下，可以认为性别与“是否为‘运动达人’”有关．…（6分）
（2）由题意可知，该校每个男生是运动达人的概率为
36
60
=
3
5
，故X～B(3，  
3
5
)，
X可取的值为0，1，2，3，
所以P(X=0)=
C
0
3
(
2
5
)3-0(
3
5
)0=
8
125
，P(X=1)=
C
1
3
(
2
5
)3-1(
3
5
)1=
36
125
，P(X=2)=
C
2
3
(
2
5
)3-2(
3
5
)2=
54
125
，P(X=3)=
C
3
3
(
2
5
)3-3(
3
5
)3=
27
125
．
X的分布列为：
X0123
P
8
125
36
125
54
125
27
125
∴E(X)=3×
3
5
=
9
5
，D(X)=3×
3
5
×
2
5
=
18
25
．…（12分） （1）由题意，该校根据性别采取分层抽样的方法抽取的100人中，有60人为男生，40人为女生，据此2×2列联表中的数据补充如下．
             运动时间
性别		运动达人非运动达人合计
男生362460
女生142640
合计5050100
由表中数据得K2的观测值k=
100×(36×26-24×14)2
50×50×60×40
=6>5.024，
所以在犯错误概率不超过0.025的前提下，可以认为性别与“是否为‘运动达人’”有关．…（6分）
（2）由题意可知，该校每个男生是运动达人的概率为
36
60
=
3
5
，故X～B(3，  
3
5
)，
X可取的值为0，1，2，3，
所以P(X=0)=
C
0
3
(
2
5
)3-0(
3
5
)0=
8
125
，P(X=1)=
C
1
3
(
2
5
)3-1(
3
5
)1=
36
125
，P(X=2)=
C
2
3
(
2
5
)3-2(
3
5
)2=
54
125
，P(X=3)=
C
3
3
(
2
5
)3-3(
3
5
)3=
27
125
．
X的分布列为：
X0123
P
8
125
36
125
54
125
27
125
∴E(X)=3×
3
5
=
9
5
，D(X)=3×
3
5
×
2
5
=
18
25
．…（12分）
相关问答