假设f(x)在负无穷到正无穷内无穷次可导且满足设f(x)在负无穷到正无穷内无穷次可导且满足(1)f(x)n次求导后的绝对值小于等于M,x大于负无穷小于正无穷,n=1,2,3.(2)f(1/m)=0,m=1,2.证明：(1)对于任意非负整数n,有f(0)多次可导后=0,(2)f(x)恒等于0
2019-06-02
假设f(x)在负无穷到正无穷内无穷次可导且满足
设f(x)在负无穷到正无穷内无穷次可导且满足(1)f(x)n次求导后的绝对值小于等于M,x大于负无穷小于正无穷,n=1,2,3.
(2)f(1/m)=0,m=1,2.
证明：
(1)对于任意非负整数n,有f(0)多次可导后=0,
(2)f(x)恒等于0
优质解答
证明：
1.
f 的任意阶导数也连续.
因为 f(1/m)=f(1/(m+1))=0 所以存在 1/(m+1)< x_1_m无穷大）f'( x_1_m)=0
归纳法：
设存在 x_n_1>x_n_2>... >0 使得 f的n阶导数 在 x_n_i, i=1,2,.. ,处=0,x_n_m -->0. f的n阶导数 在 x=0处=0
于是,任给 m>0, 存在 x_n_(m+1)
证明：
1.
f 的任意阶导数也连续.
因为 f(1/m)=f(1/(m+1))=0 所以存在 1/(m+1)< x_1_m无穷大）f'( x_1_m)=0
归纳法：
设存在 x_n_1>x_n_2>... >0 使得 f的n阶导数 在 x_n_i, i=1,2,.. ,处=0,x_n_m -->0. f的n阶导数 在 x=0处=0
于是,任给 m>0, 存在 x_n_(m+1)