实变函数题求助>< 证明m*(E∪A)+m*(E∩A)=m(E)+m*(A)设E是R中的可测集,A是任意集.证明m*(E∪A)+m*(E∩A)=m(E)+m*(A)
2019-05-23
实变函数题求助>< 证明m*(E∪A)+m*(E∩A)=m(E)+m*(A)
设E是R中的可测集,A是任意集.证明m*(E∪A)+m*(E∩A)=m(E)+m*(A)
优质解答
E可测,满足卡拉泰奥多里条件：
对任意集合T,m*(T)=m*(E∩T)+m*(T-E)
令T=E∪A得：
m*(E∪A)=m(E)+m*(A-E)
令T=A得：
m*(A)=m*(E∩A)+m*(A-E)
由上面两式得
m*(E∪A)-m(E)=m*(A)-m*(E∩A)=m*(A-E)
因此
m*(E∪A)+m*(E∩A)=m(E)+m*(A)
E可测,满足卡拉泰奥多里条件：
对任意集合T,m*(T)=m*(E∩T)+m*(T-E)
令T=E∪A得：
m*(E∪A)=m(E)+m*(A-E)
令T=A得：
m*(A)=m*(E∩A)+m*(A-E)
由上面两式得
m*(E∪A)-m(E)=m*(A)-m*(E∩A)=m*(A-E)
因此
m*(E∪A)+m*(E∩A)=m(E)+m*(A)