（2014•漳州模拟）定义在实数集上的函数f（x）=x2+x，g（x）=13x3-2x+m．（1）求函数f（x）的图象在x=1处的切线方程；（2）若f（x）≥g（x）对任意的x∈[-4，4]恒成立，求实数m的取值范围．
2019-05-27
（2014•漳州模拟）定义在实数集上的函数f（x）=x2+x，g（x）=x3-2x+m．
（1）求函数f（x）的图象在x=1处的切线方程；
（2）若f（x）≥g（x）对任意的x∈[-4，4]恒成立，求实数m的取值范围．
优质解答
（1）∵f（x）=x2+x
∴f′（x）=2x+1，f（1）=2，
∴f′（1）=3，
∴所求切线方程为y-2=3（x-1），
即3x-y-1=0；
（2）令h（x）=g（x）-f（x）=x3-2x+m-x2-x=x3-3x+m-x2
∴h′（x）=x2-2x-3，
当-4＜x＜-1时，h′（x）＞0，
当-1＜x＜3时，h′（x）＜0，
当3＜x＜4时，h′（x）＞0，
要使f（x）≥g（x）恒成立，即h（x）max≤0，
由上知h（x）的最大值在x=-1或x=4取得，
而h（-1）=m+，h（4）=m-，
∵m+＞m−，
∴m+≤0，
即m≤−．
（1）∵f（x）=x2+x
∴f′（x）=2x+1，f（1）=2，
∴f′（1）=3，
∴所求切线方程为y-2=3（x-1），
即3x-y-1=0；
（2）令h（x）=g（x）-f（x）=x3-2x+m-x2-x=x3-3x+m-x2
∴h′（x）=x2-2x-3，
当-4＜x＜-1时，h′（x）＞0，
当-1＜x＜3时，h′（x）＜0，
当3＜x＜4时，h′（x）＞0，
要使f（x）≥g（x）恒成立，即h（x）max≤0，
由上知h（x）的最大值在x=-1或x=4取得，
而h（-1）=m+，h（4）=m-，
∵m+＞m−，
∴m+≤0，
即m≤−．