精选问答
（2014•淄博三模）设函数f（x）=lnx-x2+ax（其中无理数e=2.71828…，a∈R）．（I）若函数f（x）在（0，e]上不是单调函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）证明：设函数f（x）的图象在x=x0处的切线为l，证明：f（x）的图象上不存在位于直线l上方的点．

2019-04-29

（2014•淄博三模）设函数f（x）=lnx-x2+ax（其中无理数e=2.71828…，a∈R）．
（I）若函数f（x）在（0，e]上不是单调函数，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）证明：设函数f（x）的图象在x=x0处的切线为l，证明：f（x）的图象上不存在位于直线l上方的点．
优质解答
（Ⅰ）f′(x)＝
−2x2+ax+1
x
=-
2x2−ax−1
x
，
要使f（x）在（0，e]上不单调，f'（x）在（0，e）内必有零点且在零点左右异号，
即h（x）=2x2-ax-1在（0，e）内有零点且在零点左右异号．   
因为△=a2+8＞0，
所以方程2x2-ax-1=0有两个不等的实数根x1，x2，由于x1x2=−
1
2
＜0，
不妨设x1＜0，x2＞0，所以x1＜0，x2∈（0，e），
由h（x）图象可知：h（0）h（e）＜0，
即2e2-ae-1＞0，解得 a＜2e-
1
e
．
（Ⅱ）因为f′(x0)＝
1
x0
−2x0+a，
又切点C（x0，lnx0−
x
2
0
+ax0），所以切线l的方程为y−(lnx0−
x
2
0
+ax0)＝(
1
x0
−2x0+a)(x−x0)，
即y＝(
1
x0
−2x0+a)x−1+
x
2
0
+ln⁡x0，（x0为常数）．…（8分）
令g(x)＝f(x)−[(
1
x0
−2x0+a)x−1+
x
2
0
+ln⁡x0]，
则g（x）=ln⁡x−x2−[(
1
x0
−2x0)x−1+
x
2
0
+ln⁡x0]，
则g′(x)＝
1
x
−2x−(
1
x0
−2x0)=−(x−x0)(
2xx0+1
xx0
)＝−
2(x−x< （Ⅰ）f′(x)＝
−2x2+ax+1
x
=-
2x2−ax−1
x
，
要使f（x）在（0，e]上不单调，f'（x）在（0，e）内必有零点且在零点左右异号，
即h（x）=2x2-ax-1在（0，e）内有零点且在零点左右异号．   
因为△=a2+8＞0，
所以方程2x2-ax-1=0有两个不等的实数根x1，x2，由于x1x2=−
1
2
＜0，
不妨设x1＜0，x2＞0，所以x1＜0，x2∈（0，e），
由h（x）图象可知：h（0）h（e）＜0，
即2e2-ae-1＞0，解得 a＜2e-
1
e
．
（Ⅱ）因为f′(x0)＝
1
x0
−2x0+a，
又切点C（x0，lnx0−
x
2
0
+ax0），所以切线l的方程为y−(lnx0−
x
2
0
+ax0)＝(
1
x0
−2x0+a)(x−x0)，
即y＝(
1
x0
−2x0+a)x−1+
x
2
0
+ln⁡x0，（x0为常数）．…（8分）
令g(x)＝f(x)−[(
1
x0
−2x0+a)x−1+
x
2
0
+ln⁡x0]，
则g（x）=ln⁡x−x2−[(
1
x0
−2x0)x−1+
x
2
0
+ln⁡x0]，
则g′(x)＝
1
x
−2x−(
1
x0
−2x0)=−(x−x0)(
2xx0+1
xx0
)＝−
2(x−x<
相关问答