数学
大学数学求证题,用柯西中值定理设函数y=f(x)在x=0的某邻域内具有n阶导数,且f(0)=f '(0)=f ''(0)=f '''(0)=f (4)(0)=……=f(n-1)(0)=0,证明:f(x)/x^n=f(n)(βx)/n!,其中β∈(0,1)

2019-05-29

大学数学求证题,用柯西中值定理
设函数y=f(x)在x=0的某邻域内具有n阶导数,且f(0)=f '(0)=f ''(0)=f '''(0)=f (4)(0)=……=f(n-1)(0)=0,证明:
f(x)/x^n=f(n)(βx)/n!,其中β∈(0,1)
优质解答
∵β∈(0,1)
∴βx∈(0,x)
又∵f(0)=f '(0)=f ''(0)=f '''(0)=f (4)(0)=……=f(n-1)(0)=0
根据柯西中值定理,有
f(x)/x^n=[f(x)-f(0)]/(x^n-0^n)=f '(βx)/nβ^(n-1)
又根据柯西中值定理,有
[f '(βx)-f '(0)]/[nβ^(n-1)-n*0^(n-1)]=f ''(βx)/n(n-1)β^(n-2)
再根据柯西中值定理,有
[f ''(βx)-f ''(0)]/[n(n-1)β^(n-2)-n(n-1)*0^(n-2)]=f '''(βx)/n(n-1)(n-2)β^(n-3)
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日复一日,年复一年,如此这般,这般如此,周而复始之后……便可得到:
f(x)/x^n=f(n)(βx)/n!
∵β∈(0,1)
∴βx∈(0,x)
又∵f(0)=f '(0)=f ''(0)=f '''(0)=f (4)(0)=……=f(n-1)(0)=0
根据柯西中值定理,有
f(x)/x^n=[f(x)-f(0)]/(x^n-0^n)=f '(βx)/nβ^(n-1)
又根据柯西中值定理,有
[f '(βx)-f '(0)]/[nβ^(n-1)-n*0^(n-1)]=f ''(βx)/n(n-1)β^(n-2)
再根据柯西中值定理,有
[f ''(βx)-f ''(0)]/[n(n-1)β^(n-2)-n(n-1)*0^(n-2)]=f '''(βx)/n(n-1)(n-2)β^(n-3)
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日复一日,年复一年,如此这般,这般如此,周而复始之后……便可得到:
f(x)/x^n=f(n)(βx)/n!
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