如图，菱形ABCD的边长为2，BD=2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE+CF=2．（1）求证：△BDE≌△BCF；（2）判断△BEF的形状，并说明理由；（3）试探究△DEF的周长是否存在最小值．如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出△DEF周长的最小值．
2020-02-25
如图，菱形ABCD的边长为2，BD=2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE+CF=2．
（1）求证：△BDE≌△BCF；
（2）判断△BEF的形状，并说明理由；
（3）试探究△DEF的周长是否存在最小值．如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出△DEF周长的最小值．
优质解答
（1）证明：∵菱形ABCD的边长为2，对角线BD=2，
∴AB=AD=BD=2，BC=CD=BD=2，
∴△ABD与△BCD都是等边三角形，
∴∠BDE=∠C=60°，
∵AE+CF=2，
∴CF=2-AE，
又∵DE=AD-AE=2-AE，
∴DE=CF，
在△BDE和△BCF中，
，
∴△BDE≌△BCF（SAS）；
（2）△BEF是等边三角形．理由如下：
由（1）可知△BDE≌△BCF，
∴BE=BF，∠DBE=∠CBF，
∴∠EBF=∠DBE+∠DBF=∠CBF+∠DBF=∠DBC=60°，
∴△BEF是等边三角形，
由图可知，△BDE绕点B顺时针旋转60°即可得到△BCF；
（3）如图所示：
当BE⊥AD时，△DEF的周长最小，
∵△BDE≌△BCF，
∴DE=FC，
∴DE+DF=AD=2，
故当△DEF的周长最小，则EF最小即可，
∵△BEF是等边三角形，△ABD与△BCD都是等边三角形，
∴BE=ABsin60°=，
∴△DEF周长的最小值为：2+．
（1）证明：∵菱形ABCD的边长为2，对角线BD=2，
∴AB=AD=BD=2，BC=CD=BD=2，
∴△ABD与△BCD都是等边三角形，
∴∠BDE=∠C=60°，
∵AE+CF=2，
∴CF=2-AE，
又∵DE=AD-AE=2-AE，
∴DE=CF，
在△BDE和△BCF中，
，
∴△BDE≌△BCF（SAS）；
（2）△BEF是等边三角形．理由如下：
由（1）可知△BDE≌△BCF，
∴BE=BF，∠DBE=∠CBF，
∴∠EBF=∠DBE+∠DBF=∠CBF+∠DBF=∠DBC=60°，
∴△BEF是等边三角形，
由图可知，△BDE绕点B顺时针旋转60°即可得到△BCF；
（3）如图所示：
当BE⊥AD时，△DEF的周长最小，
∵△BDE≌△BCF，
∴DE=FC，
∴DE+DF=AD=2，
故当△DEF的周长最小，则EF最小即可，
∵△BEF是等边三角形，△ABD与△BCD都是等边三角形，
∴BE=ABsin60°=，
∴△DEF周长的最小值为：2+．