一道关于函数的高中数学题设f（x）是定义在R上的函数,对m,n∈R恒有f(m+n)=f(m)·f(n),且当x＞0时,0＜f（x）＜1.1：求证：x∈R时恒有f（x）＞0.2：若f（x）·f（2x-x^2)＞1,求x的范围.高手速度进来,要求过程详细,最快的最详细的马上采纳,谢谢!
2019-05-30
一道关于函数的高中数学题
设f（x）是定义在R上的函数,对m,n∈R恒有f(m+n)=f(m)·f(n),且当x＞0时,0＜f（x）＜1.
1：求证：x∈R时恒有f（x）＞0.
2：若f（x）·f（2x-x^2)＞1,求x的范围.
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优质解答
证明：
（1）∵m,n∈R恒有f（m+n）=f（m）•f（n）,
令m=0
则f（n）=f（0）•f（n）,
则f（0）=1
令m=-n
则f（0）=f（-n）•f（n）=1,
∴f（x）与f（-x）互为倒数,
∵当x＞0时,0＜f（x）＜1,
∴当x＜0时,f（x）＞1,
又由x=0时,f（0）=1
故当x∈R时,恒有f（x）＞0；
（2）
（2）
∵对m,n∈R恒有f(m+n)=f(m)·f(n),
∴f（x）·f（2x-x²)=f(x+2x-x²)>1
∴由（1）中的结论可得到：
x+2x-x²>0
即x²-3x＜0
∴ x（x-3）＜0
∴ 0
证明：
（1）∵m,n∈R恒有f（m+n）=f（m）•f（n）,
令m=0
则f（n）=f（0）•f（n）,
则f（0）=1
令m=-n
则f（0）=f（-n）•f（n）=1,
∴f（x）与f（-x）互为倒数,
∵当x＞0时,0＜f（x）＜1,
∴当x＜0时,f（x）＞1,
又由x=0时,f（0）=1
故当x∈R时,恒有f（x）＞0；
（2）
（2）
∵对m,n∈R恒有f(m+n)=f(m)·f(n),
∴f（x）·f（2x-x²)=f(x+2x-x²)>1
∴由（1）中的结论可得到：
x+2x-x²>0
即x²-3x＜0
∴ x（x-3）＜0
∴ 0