数学
如图，抛物线y=-49x2+83x+2与y轴交于点A，顶点为B，点P是x轴上的一个动点，求线段PA与PB中较长的线段减去较短的线段的差的最小值与最大值，并求出相应的点P的坐标．

2019-05-03

作业帮如图，抛物线y=-
4
9
x2+
8
3
x+2与y轴交于点A，顶点为B，点P是x轴上的一个动点，求线段PA与PB中较长的线段减去较短的线段的差的最小值与最大值，并求出相应的点P的坐标．
优质解答
∵抛物线y=-
4
9
x2+
8
3
x+2与y轴交于点A，
∴A（0，2），
∵y=-
4
9
x2+
8
3
x+2=-
4
9
（x-3）2+6，
∴顶点B（3，6），
设P（x，0），
当PA=PB是线段PA与PB的差的最小，PA-PB=0，
∵A（0，2），B（3，6），
∴PA2=x2+22=x2+4，PB2=（x-3）2+62，
∴x2+4=（x-3）2+62，解得：x=
41
6
，
∴P（
41
6
，0），
当P、A、B在一条直线上时，线段PA与PB的差的最大；
∵A（0，2），B（3，6），
∴PA=
x2+22
，PB=
(x-3)2+62
，AB=
32+(6-2)2
=5，
∴PB=PA+AB，即
(x-3)2+62
=5+
x2+22
，
解得x=-
3
2
，
∴P（-
3
2
，0）．PA=
5
2
，PB=
15
2
，
∴PB-PA=5，
所以线段PA与PB中较长的线段减去较短的线段的差的最小值是0，此时点P的坐标为（
41
6
，0）；线段PA与PB中较长的线段减去较短的线段的差的最大值为5，此时点P的坐标为（-
∵抛物线y=-
4
9
x2+
8
3
x+2与y轴交于点A，
∴A（0，2），
∵y=-
4
9
x2+
8
3
x+2=-
4
9
（x-3）2+6，
∴顶点B（3，6），
设P（x，0），
当PA=PB是线段PA与PB的差的最小，PA-PB=0，
∵A（0，2），B（3，6），
∴PA2=x2+22=x2+4，PB2=（x-3）2+62，
∴x2+4=（x-3）2+62，解得：x=
41
6
，
∴P（
41
6
，0），
当P、A、B在一条直线上时，线段PA与PB的差的最大；
∵A（0，2），B（3，6），
∴PA=
x2+22
，PB=
(x-3)2+62
，AB=
32+(6-2)2
=5，
∴PB=PA+AB，即
(x-3)2+62
=5+
x2+22
，
解得x=-
3
2
，
∴P（-
3
2
，0）．PA=
5
2
，PB=
15
2
，
∴PB-PA=5，
所以线段PA与PB中较长的线段减去较短的线段的差的最小值是0，此时点P的坐标为（
41
6
，0）；线段PA与PB中较长的线段减去较短的线段的差的最大值为5，此时点P的坐标为（-
相关问答