己知抛物线y2=2px（p>0）上两个动点A（x1，y1），B（x2，y2），O为坐标原点，OA⊥OB．（1）求线段AB中点的轨迹方程；（2）若在C上的点到直线x-2y+25-p=0的距离为d，求d的最小值．
2019-05-03
己知抛物线y2=2px（p>0）上两个动点A（x1，y1），B（x2，y2），O为坐标原点，OA⊥OB．
（1）求线段AB中点的轨迹方程；
（2）若在C上的点到直线x-2y+2-p=0的距离为d，求d的最小值．
优质解答
（1）设直线AB：x=my+n．
代入抛物线方程，可得y2-2pmy-2pn=0，
∵OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=+y1y2=0，
∴y1y2=-4p2=-2pn，则n=2p，
又y1+y2=2pm，x1+x2=m（y1+y2）+2n=2pm2+4p．
设AB中点M（x，y），
则，消去m得：y2=px-2p2．
∴线段AB中点的轨迹方程为y2=px-2p2；
（2）设与直线x-2y+2-p=0平行的直线方程为x-2y+t=0．
联立，得y2-2py+pt+2p2=0．
由△=4p2-4pt-8p2=0，解得：t=-p．
∴与直线x-2y+2-p=0平行的直线方程为x-2y-p=0．
则C上的点到直线x-2y+2-p=0的距离d的最小值为=2．
（1）设直线AB：x=my+n．
代入抛物线方程，可得y2-2pmy-2pn=0，
∵OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=+y1y2=0，
∴y1y2=-4p2=-2pn，则n=2p，
又y1+y2=2pm，x1+x2=m（y1+y2）+2n=2pm2+4p．
设AB中点M（x，y），
则，消去m得：y2=px-2p2．
∴线段AB中点的轨迹方程为y2=px-2p2；
（2）设与直线x-2y+2-p=0平行的直线方程为x-2y+t=0．
联立，得y2-2py+pt+2p2=0．
由△=4p2-4pt-8p2=0，解得：t=-p．
∴与直线x-2y+2-p=0平行的直线方程为x-2y-p=0．
则C上的点到直线x-2y+2-p=0的距离d的最小值为=2．