求助一道高等数学求反常积分的问题求极限lim x→∞,积分∫下限为0,上限为x,被积分函数为(t*sin(2/t))dt 的值,要求写出计算过程是x趋近于正无穷大，不是无穷大
2019-06-02
求助一道高等数学求反常积分的问题
求极限lim x→∞,积分∫下限为0,上限为x,被积分函数为(t*sin(2/t))dt 的值,要求写出计算过程
是x趋近于正无穷大，不是无穷大
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先假设lim x→∞,积分(0,x)∫tsin(2/t)dt是x的等阶无穷大,则下列极限在lim x→∞,应为一常数：
I=[(0,x)∫tsin(2/t)dt]/x
应用罗毕达法则对上式分子和分母同时微分.分子的微分是xsin(2/x).分母的微分是1.结果得：
I=xsin(2/x)=2[sin(2/x)]/(2/x)
令u=2/x,当lim x→∞时,u→0,则有：
I=2[sin(2/x)]/(2/x)=2sinu/u=2.
所以,当lim x→∞,积分(0,x)∫tsin(2/t)dt是x的一阶等阶无穷大.
先假设lim x→∞,积分(0,x)∫tsin(2/t)dt是x的等阶无穷大,则下列极限在lim x→∞,应为一常数：
I=[(0,x)∫tsin(2/t)dt]/x
应用罗毕达法则对上式分子和分母同时微分.分子的微分是xsin(2/x).分母的微分是1.结果得：
I=xsin(2/x)=2[sin(2/x)]/(2/x)
令u=2/x,当lim x→∞时,u→0,则有：
I=2[sin(2/x)]/(2/x)=2sinu/u=2.
所以,当lim x→∞,积分(0,x)∫tsin(2/t)dt是x的一阶等阶无穷大.