数学
设方阵A满足A2-A-2E=0，证明：A和A+2E均可逆，并求A和A+2E的逆矩阵．

2019-12-16

设方阵A满足A2-A-2E=0，证明：A和A+2E均可逆，并求A和A+2E的逆矩阵．
优质解答
证明：∵方阵A满足A2-A-2E=0，
∴A2-A=2E，
∴A×
A−E
2
=E
所以A可逆，逆矩阵为
A−E
2
，
∵方阵A满足A2-A-2E=0，
∴A2=A+2E，
由A可逆知A2可逆，
所以A+2E可逆，
逆矩阵为[
A−E
2
]2=
(A−E)2
4
 证明：∵方阵A满足A2-A-2E=0，
∴A2-A=2E，
∴A×
A−E
2
=E
所以A可逆，逆矩阵为
A−E
2
，
∵方阵A满足A2-A-2E=0，
∴A2=A+2E，
由A可逆知A2可逆，
所以A+2E可逆，
逆矩阵为[
A−E
2
]2=
(A−E)2
4
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