数学
某公司为了变废为宝，节约资源，新上了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目．经测算，该项目月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可以近似地表示为：y=13x3-80x2+5040x，x∈[120，144)12x2-200x+80000，x∈[144，500)，且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的生物柴油价值为200元，若该项目不获利，政府将给予补贴．（Ⅰ）当x∈[200，300]时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？（Ⅱ）该项目

2019-04-29

某公司为了变废为宝，节约资源，新上了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目．经测算，该项目月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可以近似地表示为：y=
1
3
x3-80x2+5040x，x∈[120，144)
1
2
x2-200x+80000，x∈[144，500)
，且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的生物柴油价值为200元，若该项目不获利，政府将给予补贴．
（Ⅰ）当x∈[200，300]时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？
（Ⅱ）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
优质解答
（Ⅰ）当x∈[200，300）时，该项目获利为S，则
S=200x-（
1
2
x2-200x+80000）=-
1
2
（x-400）2，
∴当x∈[200，300）时，S<0，因此，该项目不会获利
当x=300时，S取得最大值-5000，所以政府每月至少需要补贴5000元才能使该项目不亏损；

（Ⅱ）由题意可知，生活垃圾每吨的平均处理成本为：
y
x
=
1
3
x2-80x+5040，x∈[120，144)
1
2
x+
80000
x
-200，x∈[144，500)
．
当x∈[120，144）时，
y
x
=
1
3
（x-120）2+240
所以当x=120时，
y
x
取得最小值240；    
当x∈[144，500）时，
y
x
=
1
2
x+
80000
x
-200≥2
1
2
x•
80000
x
-200=300
当且仅当
1
2
x=
80000
x
，即x=400时，
y
x
取得最小值300
因为240<300，所以当每月处理量为120吨时，才能使每吨的平均处理成本最低． （Ⅰ）当x∈[200，300）时，该项目获利为S，则
S=200x-（
1
2
x2-200x+80000）=-
1
2
（x-400）2，
∴当x∈[200，300）时，S<0，因此，该项目不会获利
当x=300时，S取得最大值-5000，所以政府每月至少需要补贴5000元才能使该项目不亏损；

（Ⅱ）由题意可知，生活垃圾每吨的平均处理成本为：
y
x
=
1
3
x2-80x+5040，x∈[120，144)
1
2
x+
80000
x
-200，x∈[144，500)
．
当x∈[120，144）时，
y
x
=
1
3
（x-120）2+240
所以当x=120时，
y
x
取得最小值240；    
当x∈[144，500）时，
y
x
=
1
2
x+
80000
x
-200≥2
1
2
x•
80000
x
-200=300
当且仅当
1
2
x=
80000
x
，即x=400时，
y
x
取得最小值300
因为240<300，所以当每月处理量为120吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．
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