数学
心理学家分析发现视觉和空间想象能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样方法抽取50名同学（男30，女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如表：（单位：人）几何题代数题总计男同学22830女同学81220总计302050（Ⅰ）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间想象能力与性别有关？附表及公式P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.8

2019-04-12

心理学家分析发现视觉和空间想象能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样方法抽取50名同学（男30，女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如表：（单位：人）
几何题代数题总计
男同学22830
女同学81220
总计302050
（Ⅰ）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间想象能力与性别有关？
附表及公式
P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001
k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828
K2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
，n=a+b+c+d．
（Ⅱ）现从选择做几何题的8名女同学中任意抽取2名同学对他们的答题情况进行全程研究，记丙，丁2名女生被抽到的人数为X，求X的分布列和数学期望E（X）．
优质解答
（Ⅰ）由表中数据，得K2=
50×(22×12-8×8)2
30×20×30×20
=
50
9
≈5.556>5.024
所以有97.5%的把握认为视觉和空间想象能力与性别有关．…（4分）
（Ⅱ）由题设可知，在选择做几何题的8名女生中任意抽取2名的方法共有
C
2
8
=28种．
其中丙，丁2人没有被抽到的方法有
C
2
6
=15种，
恰有1人被抽到的方法
C
1
2
C
1
6
=12种，
2人都被抽到方法有1种，所以X的可能取值为0，1，2…（8分）
P(X=0)=
15
28
，P(X=1)=
12
28
，P(X=2)=
1
28
，
∴X的分布列为：
X012
P
15
28
3
7
1
28
…（10分）
∴E(X)=0×
15
28
+1×
3
7
+2×
1
28
=
1
2
…（12分） （Ⅰ）由表中数据，得K2=
50×(22×12-8×8)2
30×20×30×20
=
50
9
≈5.556>5.024
所以有97.5%的把握认为视觉和空间想象能力与性别有关．…（4分）
（Ⅱ）由题设可知，在选择做几何题的8名女生中任意抽取2名的方法共有
C
2
8
=28种．
其中丙，丁2人没有被抽到的方法有
C
2
6
=15种，
恰有1人被抽到的方法
C
1
2
C
1
6
=12种，
2人都被抽到方法有1种，所以X的可能取值为0，1，2…（8分）
P(X=0)=
15
28
，P(X=1)=
12
28
，P(X=2)=
1
28
，
∴X的分布列为：
X012
P
15
28
3
7
1
28
…（10分）
∴E(X)=0×
15
28
+1×
3
7
+2×
1
28
=
1
2
…（12分）
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