长为l(l<1)的线段AB的两个端点在抛物线y2=x上滑动,则线段AB中点M到y轴距离的最小值是( )A. l2B. l22C. l4D. l24
2019-05-03
长为l(l<1)的线段AB的两个端点在抛物线y2=x上滑动,则线段AB中点M到y轴距离的最小值是( )
A.
B.
C.
D.
优质解答
设A(x1,y1),B(x2,y2),
将A和B分别代入抛物线y2=x得:y12=x1,y22=x2,
又y1y2<0,
∴x1x2=(y1y2)2,即y1y2=-,
∵抛物线y2=x开口向右,
∴线段AB中点M到y轴的距离为,
由x1+x2≥2,得到当且仅当x1=x2时,取得最小值,
∴此时x1+x2=2,又线段AB的长为l,
∴(x1-x2)2+(y1-y2)2=(y1-y2)2=l2,
即y12+y22-2y1y2=x1+x2+2=2(x1+x2)=l2,
∴x1+x2=l2,
则线段AB中点M到y轴距离的最小值为=.
故选D
设A(x1,y1),B(x2,y2),
将A和B分别代入抛物线y2=x得:y12=x1,y22=x2,
又y1y2<0,
∴x1x2=(y1y2)2,即y1y2=-,
∵抛物线y2=x开口向右,
∴线段AB中点M到y轴的距离为,
由x1+x2≥2,得到当且仅当x1=x2时,取得最小值,
∴此时x1+x2=2,又线段AB的长为l,
∴(x1-x2)2+(y1-y2)2=(y1-y2)2=l2,
即y12+y22-2y1y2=x1+x2+2=2(x1+x2)=l2,
∴x1+x2=l2,
则线段AB中点M到y轴距离的最小值为=.
故选D