【分析】(1)由“f(x)对任意的x∈R，都有f(x)+f(-x)=0”得f(x)是R上的奇函数求解a，再由“函数f(x)是实数集R上的增函数”验证．
(2)结合(1)将“任意的x>0，g(x)0恒成立，只要求得h(x)的最大值即可．
(3)观察其结构，我们可以先探究一下，g(1)<1，即，ln(1+1)<1，ln(+1)<，依此类推，我们可以有ln()<，成立，再用累加法求解．

(1)∵f(x)对任意的x∈R，都有f(x)+f(-x)=0，
∴f(x)是R上的奇函数，
∴f(0)=(a-1)ln(1+a²-a-2)=0
即a2-a-2=0或a-1=0
∴a=-1或a=2或a=1，
∵f(x)是实数集R上的增函数，
∴a=2．
(2)由(1)知f(x)=x，函数g(x)=ln[f(x)+1]=ln(x+1)，
设h(x)=g(x)-px=ln(x+1)-px(x>0)，
则g(x)0)
①若p≥1，则h′(x)=<0，h(x)在(0，+∞)上是减函数，
因此h(x)<h(0)=0恒成立，
②若p∈(0，1)，则令h′(x)=0，解得x=，
当x∈(0，)是，h(x)>0，h(x)单调递增，不成立
故实数p的取值范围[1，+∞)
(3)证明：由第(2)小题可知，
当p=1时，ln(x+1)<x(x>0)恒成立，
故当x>0，ln()<也恒成立，
∴ln2<1，<<，<
将各不等式相加得
ln+…+<1++…+
故g(n)<

【点评】本题主要考查函数的奇偶性和单调性，同时还考查了验证的思想，转化的思想以及知识方法迁移的能力．

【分析】(1)由“f(x)对任意的x∈R，都有f(x)+f(-x)=0”得f(x)是R上的奇函数求解a，再由“函数f(x)是实数集R上的增函数”验证．
(2)结合(1)将“任意的x>0，g(x)0恒成立，只要求得h(x)的最大值即可．
(3)观察其结构，我们可以先探究一下，g(1)<1，即，ln(1+1)<1，ln(+1)<，依此类推，我们可以有ln()<，成立，再用累加法求解．

(1)∵f(x)对任意的x∈R，都有f(x)+f(-x)=0，
∴f(x)是R上的奇函数，
∴f(0)=(a-1)ln(1+a²-a-2)=0
即a2-a-2=0或a-1=0
∴a=-1或a=2或a=1，
∵f(x)是实数集R上的增函数，
∴a=2．
(2)由(1)知f(x)=x，函数g(x)=ln[f(x)+1]=ln(x+1)，
设h(x)=g(x)-px=ln(x+1)-px(x>0)，
则g(x)0)
①若p≥1，则h′(x)=<0，h(x)在(0，+∞)上是减函数，
因此h(x)<h(0)=0恒成立，
②若p∈(0，1)，则令h′(x)=0，解得x=，
当x∈(0，)是，h(x)>0，h(x)单调递增，不成立
故实数p的取值范围[1，+∞)
(3)证明：由第(2)小题可知，
当p=1时，ln(x+1)<x(x>0)恒成立，
故当x>0，ln()<也恒成立，
∴ln2<1，<<，<
将各不等式相加得
ln+…+<1++…+
故g(n)<

【点评】本题主要考查函数的奇偶性和单调性，同时还考查了验证的思想，转化的思想以及知识方法迁移的能力．