优质解答
抛物线拓展训练
一、选择题
1．过定点 P(0,1)作直线l,使l与曲线y2=2x有且仅有1个公共点,这样的直线l共有 ( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
2．直线过抛物线y2=2Px(P＞0)的焦点,与抛物线交于两点A(x1,y1)、B(x2,y2),则x1·x2=( )
A．－p2 B．P2
3．已知点A(2,3),F是抛物线x2=2y的焦点,点P是抛物线上的动点,当|PA|＋|PF|取得最小值时,点P的坐标是 ( )
4．在下列四个图形中,已知有一个是方程ax＋by2=0与ax2＋by2=1(a≠0,b≠0)在同一坐标系中的示意图,它是( )
( )
A．60° B．30° C．60°或120° D．30°与150°
6．抛物线y2=x关于直线x－y=0对称的抛物线方程是( )
A．x2=y B．x2=－y
C．y2=x D．y2=－x
7．已知点A(0,－3)和B(2,3),点P在抛物线x2=y上,当△PAB的面积最小时,点P的坐标是( )
[ ]
9．若一个圆的圆心与抛物线y2=8x的焦点重合,且此圆与直线y=3x＋4相切,则这个圆的方程为( )
A．(x－2)2＋y2=10
10．过抛物线的焦点F作相互垂直的两条直线,分别交准线于P,Q 两点,又过P、Q分别抛物线对称轴OF的平行线,交抛物线于M、N两点,则M、N、F三点( )
共圆 B．共线
C．在另一个抛物线上 D．分布无规律
11．设抛物线的顶点在原点,其焦点F在y轴上,又抛物线上的点(k,－2)与F点的距离为4,则k的值是( )
A．4 B．4或－4 C．－2 D．2或－2
二、填空题
1．抛物线x2=－4my的准线方程为________．
2．在抛物线y2=12x上有三点A、B、O(O为坐求原点)恰好围成一个等边三角形,这个三角形的周长是________．
于P、Q两点,∠POQ等于________．
到弦AB的距离为________．
三、解答题
O为坐标原点,若直线OA和OB的斜率之和1,求直线l的方程．
2．抛物线y2=6x内有一点P(4,1),抛物线的弦AB过P点且被P点平分,
(1)AB所在直线的方程．
(2)求证：在抛物线上不能找到四点,使它们是平行四边形的四个顶点．
3．抛物线y2=4Px(P＞0)上的动点M与定点A(1,0)的距离|MA|达到最小时,点M的位置记作M0,当|M0A|＜1时．
求(1)P的取值范围；
(2)求M0的轨迹方程．
4．已知定点A(0,t)(t≠0),点M是抛物线y2=x上一动点,A点关于M点的对称点是N．
(1)求点N的轨迹方程
(2)设(1)中所求轨迹与抛物线y2=x交于B、C两点,则当AB⊥AC时,求t的值．
5．已知抛物线y2=2Px(P＞0)．过动点M(a,0)且斜率为1的直线l与该抛物
线交于不同的两点A、B,|AB|≤2P．
(1)求a的取值范围．
(2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N,求△NAB面积的最大值．
6．长为l(l≥1)的线段AB,其两端点A、B分别在抛物线y=x2上移动
(1)求AB中点M的轨迹方程．
(2)求AB中点M离x轴最近时的坐标．
☆参考答案
一、选择题
2．l过点(0,1),当l‖x轴；l⊥x轴；l与抛物线相切时均满足题意,故选C．
3．由教材习题结论知y1·y2=－P2,
4．过点A作抛物线准线的垂线,交抛物线于点P,则易证P为所求,易知P点横坐标为2,代入方程得纵坐标为2,故P(2,2)选C．．
5．a＞0,b＞0时,无答案；a＞0,b＜0时无答案,a＜0,b＞0时选答案A．
故选C．
7．在y2=x中,把x,y互换得x2=y,故选A．
故选D．
10．由题设得圆心坐标(2,0),设半径为r．
故选A．
11．通过设方程,解方程组求出M、N两点的坐标,由定比分点坐标公式得F为M、N的定比分点,故M、N、F三点共线,选B．
∴P=4,∴ 抛物线方程为x2=－8y,∴k2=16,k=±4 故选B．
二、填空题
1．y=m．
3．设P(x1,y1),Q(x2,y2)解直线和抛物线方程组成方程组,消元后利用根与系数关系易得x1·x2＋y1·y2=0得∠POQ=90°．
到AB距离为3－1=2．
三、解答题
1．解法(一)：设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l方程为y=kx－1．
于是k=1,直线l的方程为y=x－1．
解法(二)
x2＋2kx－2=0,由根与系数关系
x1+x2=－2k,x1·x2=－2
∴直线l方程为y=x－1．
2．(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),y12=6x1,y22=6x2
二式相减得：
(y1＋y2)(y1－y2)=6(x1－x2)
∵x1≠x2,把y1＋y2=2,
化简得直线AB的方程：3x－y－11=0
(2)(用反证法)
假设ABCD的四个顶点都在抛物线y2=2Px上,设A(2Pt12,2Pt1),B(2Rt22,2Rt2),C(2Rt32,2Rt3),D(2Pt42,2Rt4),(t1≠t2≠t3≠t4)
当AB、CD不垂直x轴时(BC、DA也不垂直x轴)
当AB、CD⊥x轴时,若A、D在第一象限,B、C在第四象限,显然ADBC．
∴ABCD的顶点不会都在抛物线上．
3．设M(x,y)则
∴16P2·|MA|2=y4＋(16P2－8P)y2＋16P2
=[y2＋(8P2－4P)]2＋16P2－(8P2－4P)2
当y2=4P－8P2时,
|MA|2最小．
又设M0(x,y),则
消去P整理得2x2＋y2=2x,x∈(0,1)
∴M0的轨迹方程为2x2－2x＋y2=0,x∈(0,1)
4．设N(x,y),M(x1,y1)
∵A点关于M点的对称点为N
又∵点M在抛物线上∴y12=x1
∴N点的轨迹方程为(y＋t)2=2x．
(2)设B(x1,y1),C(x2,y2)
消去x整理得 y2－2ty－t2=0
△=4t2＋4t2=8t2,∵t≠0
∴△=8t2＞0 且
y1＋y2=2t
y1·y2=－t2 ①
由AB⊥AC得
把①代入上式得
5．(1)直线l的方程为y=x－a
消去y整理得：
x2－2(a＋P)x＋a2=0
设直线1与抛物线两个不同的交点坐标为A(x1,y1)、B(x2,y2)
又∵y1=x1－a,y2=x2－a,
∵0＜|AB|≤2P,8P(P＋2a)＞0
(2)设AB的垂直平分线交AB于点Q,令坐标为(x3,y3),由中点坐标公式,得
∴|QM|2=(a＋P－a)2＋(P－0)2=2P2
又△MNQ等腰直角三角形,
6．(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y)
∵(x1－x2)2＋(y1－y2)2=l2 ①
(x1－x2)2=2(x12＋x22)－(x1＋x2)2
=2(y1＋y2)－(2x)2=4y－4x2 ②
(y1－y2)2=(x12－x22)2 =(x1＋x2)2(x1－x2)2
=(4y－4x2)(2x)2 ③
把②③代入①,得：
4y－4x2＋(4y－4x2)4x2=l2
整理后得M点的轨迹方程(4y－4x2)(1＋4x2)=l2
(2)令x2=z,则(4y－4z)(1＋4z)=l2
16z2＋(4－16y)z＋l2－4y=0 ④
△≥0时,即16(1－4y)2－4×16(l2－4y)≥0
抛物线拓展训练
一、选择题
1．过定点 P(0,1)作直线l,使l与曲线y2=2x有且仅有1个公共点,这样的直线l共有 ( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
2．直线过抛物线y2=2Px(P＞0)的焦点,与抛物线交于两点A(x1,y1)、B(x2,y2),则x1·x2=( )
A．－p2 B．P2
3．已知点A(2,3),F是抛物线x2=2y的焦点,点P是抛物线上的动点,当|PA|＋|PF|取得最小值时,点P的坐标是 ( )
4．在下列四个图形中,已知有一个是方程ax＋by2=0与ax2＋by2=1(a≠0,b≠0)在同一坐标系中的示意图,它是( )
( )
A．60° B．30° C．60°或120° D．30°与150°
6．抛物线y2=x关于直线x－y=0对称的抛物线方程是( )
A．x2=y B．x2=－y
C．y2=x D．y2=－x
7．已知点A(0,－3)和B(2,3),点P在抛物线x2=y上,当△PAB的面积最小时,点P的坐标是( )
[ ]
9．若一个圆的圆心与抛物线y2=8x的焦点重合,且此圆与直线y=3x＋4相切,则这个圆的方程为( )
A．(x－2)2＋y2=10
10．过抛物线的焦点F作相互垂直的两条直线,分别交准线于P,Q 两点,又过P、Q分别抛物线对称轴OF的平行线,交抛物线于M、N两点,则M、N、F三点( )
共圆 B．共线
C．在另一个抛物线上 D．分布无规律
11．设抛物线的顶点在原点,其焦点F在y轴上,又抛物线上的点(k,－2)与F点的距离为4,则k的值是( )
A．4 B．4或－4 C．－2 D．2或－2
二、填空题
1．抛物线x2=－4my的准线方程为________．
2．在抛物线y2=12x上有三点A、B、O(O为坐求原点)恰好围成一个等边三角形,这个三角形的周长是________．
于P、Q两点,∠POQ等于________．
到弦AB的距离为________．
三、解答题
O为坐标原点,若直线OA和OB的斜率之和1,求直线l的方程．
2．抛物线y2=6x内有一点P(4,1),抛物线的弦AB过P点且被P点平分,
(1)AB所在直线的方程．
(2)求证：在抛物线上不能找到四点,使它们是平行四边形的四个顶点．
3．抛物线y2=4Px(P＞0)上的动点M与定点A(1,0)的距离|MA|达到最小时,点M的位置记作M0,当|M0A|＜1时．
求(1)P的取值范围；
(2)求M0的轨迹方程．
4．已知定点A(0,t)(t≠0),点M是抛物线y2=x上一动点,A点关于M点的对称点是N．
(1)求点N的轨迹方程
(2)设(1)中所求轨迹与抛物线y2=x交于B、C两点,则当AB⊥AC时,求t的值．
5．已知抛物线y2=2Px(P＞0)．过动点M(a,0)且斜率为1的直线l与该抛物
线交于不同的两点A、B,|AB|≤2P．
(1)求a的取值范围．
(2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N,求△NAB面积的最大值．
6．长为l(l≥1)的线段AB,其两端点A、B分别在抛物线y=x2上移动
(1)求AB中点M的轨迹方程．
(2)求AB中点M离x轴最近时的坐标．
☆参考答案
一、选择题
2．l过点(0,1),当l‖x轴；l⊥x轴；l与抛物线相切时均满足题意,故选C．
3．由教材习题结论知y1·y2=－P2,
4．过点A作抛物线准线的垂线,交抛物线于点P,则易证P为所求,易知P点横坐标为2,代入方程得纵坐标为2,故P(2,2)选C．．
5．a＞0,b＞0时,无答案；a＞0,b＜0时无答案,a＜0,b＞0时选答案A．
故选C．
7．在y2=x中,把x,y互换得x2=y,故选A．
故选D．
10．由题设得圆心坐标(2,0),设半径为r．
故选A．
11．通过设方程,解方程组求出M、N两点的坐标,由定比分点坐标公式得F为M、N的定比分点,故M、N、F三点共线,选B．
∴P=4,∴ 抛物线方程为x2=－8y,∴k2=16,k=±4 故选B．
二、填空题
1．y=m．
3．设P(x1,y1),Q(x2,y2)解直线和抛物线方程组成方程组,消元后利用根与系数关系易得x1·x2＋y1·y2=0得∠POQ=90°．
到AB距离为3－1=2．
三、解答题
1．解法(一)：设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l方程为y=kx－1．
于是k=1,直线l的方程为y=x－1．
解法(二)
x2＋2kx－2=0,由根与系数关系
x1+x2=－2k,x1·x2=－2
∴直线l方程为y=x－1．
2．(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),y12=6x1,y22=6x2
二式相减得：
(y1＋y2)(y1－y2)=6(x1－x2)
∵x1≠x2,把y1＋y2=2,
化简得直线AB的方程：3x－y－11=0
(2)(用反证法)
假设ABCD的四个顶点都在抛物线y2=2Px上,设A(2Pt12,2Pt1),B(2Rt22,2Rt2),C(2Rt32,2Rt3),D(2Pt42,2Rt4),(t1≠t2≠t3≠t4)
当AB、CD不垂直x轴时(BC、DA也不垂直x轴)
当AB、CD⊥x轴时,若A、D在第一象限,B、C在第四象限,显然ADBC．
∴ABCD的顶点不会都在抛物线上．
3．设M(x,y)则
∴16P2·|MA|2=y4＋(16P2－8P)y2＋16P2
=[y2＋(8P2－4P)]2＋16P2－(8P2－4P)2
当y2=4P－8P2时,
|MA|2最小．
又设M0(x,y),则
消去P整理得2x2＋y2=2x,x∈(0,1)
∴M0的轨迹方程为2x2－2x＋y2=0,x∈(0,1)
4．设N(x,y),M(x1,y1)
∵A点关于M点的对称点为N
又∵点M在抛物线上∴y12=x1
∴N点的轨迹方程为(y＋t)2=2x．
(2)设B(x1,y1),C(x2,y2)
消去x整理得 y2－2ty－t2=0
△=4t2＋4t2=8t2,∵t≠0
∴△=8t2＞0 且
y1＋y2=2t
y1·y2=－t2 ①
由AB⊥AC得
把①代入上式得
5．(1)直线l的方程为y=x－a
消去y整理得：
x2－2(a＋P)x＋a2=0
设直线1与抛物线两个不同的交点坐标为A(x1,y1)、B(x2,y2)
又∵y1=x1－a,y2=x2－a,
∵0＜|AB|≤2P,8P(P＋2a)＞0
(2)设AB的垂直平分线交AB于点Q,令坐标为(x3,y3),由中点坐标公式,得
∴|QM|2=(a＋P－a)2＋(P－0)2=2P2
又△MNQ等腰直角三角形,
6．(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y)
∵(x1－x2)2＋(y1－y2)2=l2 ①
(x1－x2)2=2(x12＋x22)－(x1＋x2)2
=2(y1＋y2)－(2x)2=4y－4x2 ②
(y1－y2)2=(x12－x22)2 =(x1＋x2)2(x1－x2)2
=(4y－4x2)(2x)2 ③
把②③代入①,得：
4y－4x2＋(4y－4x2)4x2=l2
整理后得M点的轨迹方程(4y－4x2)(1＋4x2)=l2
(2)令x2=z,则(4y－4z)(1＋4z)=l2
16z2＋(4－16y)z＋l2－4y=0 ④
△≥0时,即16(1－4y)2－4×16(l2－4y)≥0