数学
以下四个关于圆锥曲线的命题中：①双曲线 x 2 16 - y 2 9 =1 与椭圆 x 2 49 + y 2 24 =1 有相同的焦点；②在平面内，设A、B为两个定点，P为动点，且|PA|+|PB|=k，其中常数k为正实数，则动点P的轨迹为椭圆；③方程2x 2 -3x+1=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④过双曲线 x 2 - y 2 2 =1 的

2019-05-27

以下四个关于圆锥曲线的命题中：
①双曲线
x 2
16
-
y 2
9
=1 与椭圆
x 2
49
+
y 2
24
=1 有相同的焦点；
②在平面内，设A、B为两个定点，P为动点，且|PA|+|PB|=k，其中常数k为正实数，则动点P的轨迹为椭圆；
③方程2x 2 -3x+1=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④过双曲线 x 2 -
y 2
2
=1 的右焦点F作直线l交双曲线于A、B两点，若|AB|=4，则这样的直线l有且仅有3条．
其中真命题的序号为______（写出所有真命题的序号）．
优质解答
根据双曲线与椭圆的标准方程，双曲线与椭圆的焦点坐标都是（±5，0），①正确；
根据椭圆的定义，当k＞|AB|时是椭圆，∴②不正确；
解方程2x 2 -3x+1=0得两根分别是
1
2
，1，根据双曲线的离心率大于1，∴③不正确；
∵过右焦点垂直于x轴的直线与双曲线的右支的交点为（
3
，±2），|AB|=4，
∴与右支有两个交点时，直线只有一条；
∵2a=2，∴过右焦点与双曲线左、右支各一个交点时，满足|AB|=4，有两条直线k=±k 1 ，
∴④正确．
故答案是①④
根据双曲线与椭圆的标准方程，双曲线与椭圆的焦点坐标都是（±5，0），①正确；
根据椭圆的定义，当k＞|AB|时是椭圆，∴②不正确；
解方程2x 2 -3x+1=0得两根分别是
1
2
，1，根据双曲线的离心率大于1，∴③不正确；
∵过右焦点垂直于x轴的直线与双曲线的右支的交点为（
3
，±2），|AB|=4，
∴与右支有两个交点时，直线只有一条；
∵2a=2，∴过右焦点与双曲线左、右支各一个交点时，满足|AB|=4，有两条直线k=±k 1 ，
∴④正确．
故答案是①④
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