一道圆锥曲线的题求解不要普通的方法,普通方法我会,求用两次伟达定理直接求K的简单方法.抛物线C1：y^2=20x；圆C2：(x-5)^2+y^2=9,点P（X0,Y0）（Y0不=3）在x=-4上运动,过P作C2的两条切线,两切线与C1交于A,B,C,D四点.求证：A,B,C,D四点的纵坐标之积为定值K,并求出K的值.
2019-05-27
一道圆锥曲线的题求解
不要普通的方法,普通方法我会,求用两次伟达定理直接求K的简单方法.
抛物线C1：y^2=20x；圆C2：(x-5)^2+y^2=9,点P（X0,Y0）（Y0不=3）在x=-4上运动,过P作C2的两条切线,两切线与C1交于A,B,C,D四点.
求证：A,B,C,D四点的纵坐标之积为定值K,并求出K的值.
优质解答
答案是不是6400?以下是我手打的两种方法,供你参考
Ⅰ.设直线方程为y-y0=k1(x-4),根据点线距为3可得8k1^2-2y0k1+9-y0^2=0,同理8k1^2-2y0k1+9-y0^2=0,所以k1k2=(9-y0^2)/8①,k1+k2=y0/4②
将直线方程与双曲线方程联立可得k1y^2-20y+(20y0-80k1)=0,所以yAyB=20(y0-4k1)/k1③,同理yCyD=20(y0-4k2)/k2④,联立一二三四化简得yAyByCyD=6400
Ⅱ.设直线分别为y=k1x+b1,y=k2x+b2,由直线与圆相切可得(2k1+b1)(8k1+b1)=9①,(2k2+b2)(8k2+b2)=9②.将两直线联立并将x=4代入得4(k1-k2)+(b1-b2)=0③.由一二三解得b1=4k2④,b2=4k1⑤.接下来和第一种方法差不多,分别联立直线与抛物线求纵坐标乘积,可得yAyByCyD=400b1b2/k1k2,将④⑤代入可得yAyByCyD=6400 (解一二三可能有点难,你可以试着运用整体代入的思想,可能会简单点,我反正是不知道怎么的化着化着就化出来了)
答案是不是6400?以下是我手打的两种方法,供你参考
Ⅰ.设直线方程为y-y0=k1(x-4),根据点线距为3可得8k1^2-2y0k1+9-y0^2=0,同理8k1^2-2y0k1+9-y0^2=0,所以k1k2=(9-y0^2)/8①,k1+k2=y0/4②
将直线方程与双曲线方程联立可得k1y^2-20y+(20y0-80k1)=0,所以yAyB=20(y0-4k1)/k1③,同理yCyD=20(y0-4k2)/k2④,联立一二三四化简得yAyByCyD=6400
Ⅱ.设直线分别为y=k1x+b1,y=k2x+b2,由直线与圆相切可得(2k1+b1)(8k1+b1)=9①,(2k2+b2)(8k2+b2)=9②.将两直线联立并将x=4代入得4(k1-k2)+(b1-b2)=0③.由一二三解得b1=4k2④,b2=4k1⑤.接下来和第一种方法差不多,分别联立直线与抛物线求纵坐标乘积,可得yAyByCyD=400b1b2/k1k2,将④⑤代入可得yAyByCyD=6400 (解一二三可能有点难,你可以试着运用整体代入的思想,可能会简单点,我反正是不知道怎么的化着化着就化出来了)