假设存在
则有-1/4x^2+x+2k=2x
1/4x^2+x-2k=0
x=2[-1±√(1+2k)]
-2√(1+2k)-2≤x≤2√(1+2k)-2
k≤3/2,
当-1/2≤k≤3/2时,
-4≤-2√(1+2k)-2≤-2
-2≤2√(1+2k)-2≤2
^2
f(x)=-1/4x^2+x+2k=-1/4(x^2-2*2*x+4) +2k+1=-1/4(x-2)^2+2k+1
所以x=2时,f(x)取到最大值2k+1
如果原命题成立,必有
2√(1+2k)-2≤2k+1
得出-1/2≤k
因为0≤2k+1
当2√(1+2k)-2≤0时上述命题必然成立
所以当0≤2√(1+2k)-2时
设√(1+2k)=a
则a^2-2a+2≥0
(a+1)^2+1≥0成立
所以得出结论：
当-1/2≤k≤3/2时,
存在f(x)的定义域为[M,N]
即[-2√(1+2k)-2,2√(1+2k)-2]
f(x)是增函数
存在f(x)的值域恰好为[2M,2N]
当k＜-1/2时,
f(x)最大值无法达到2x
所以不存在实数M,N 假设存在
则有-1/4x^2+x+2k=2x
1/4x^2+x-2k=0
x=2[-1±√(1+2k)]
-2√(1+2k)-2≤x≤2√(1+2k)-2
k≤3/2,
当-1/2≤k≤3/2时,
-4≤-2√(1+2k)-2≤-2
-2≤2√(1+2k)-2≤2
^2
f(x)=-1/4x^2+x+2k=-1/4(x^2-2*2*x+4) +2k+1=-1/4(x-2)^2+2k+1
所以x=2时,f(x)取到最大值2k+1
如果原命题成立,必有
2√(1+2k)-2≤2k+1
得出-1/2≤k
因为0≤2k+1
当2√(1+2k)-2≤0时上述命题必然成立
所以当0≤2√(1+2k)-2时
设√(1+2k)=a
则a^2-2a+2≥0
(a+1)^2+1≥0成立
所以得出结论：
当-1/2≤k≤3/2时,
存在f(x)的定义域为[M,N]
即[-2√(1+2k)-2,2√(1+2k)-2]
f(x)是增函数
存在f(x)的值域恰好为[2M,2N]
当k＜-1/2时,
f(x)最大值无法达到2x
所以不存在实数M,N