一道关于圆的数学题!已知:如图,AC、BD为⊙O的两条相交弦,并且AB的平方+CD的平方=4R的平方,其中R为⊙O半径.求证：AC⊥BD（图就是一圆O中间的两条弦AB、CD分别在圆心左右两侧,连结BD、AC）
2019-05-30
一道关于圆的数学题!
已知:如图,AC、BD为⊙O的两条相交弦,并且AB的平方+CD的平方=4R的平方,其中R为⊙O半径.
求证：AC⊥BD
（图就是一圆O中间的两条弦AB、CD分别在圆心左右两侧,连结BD、AC）
优质解答
证明：过点A作直径AE,交⊙O于点E,连结EC,EB.
所以,角ABE=角ACE=90度.(直径所对的圆周角是直角）
所以,AB^2+BE^2=AE^2=4R^2（勾股定理）
因为：
AB的平方+CD的平方=4R的平方,
所以,CD=BE.
所以,EC平行BD,
角ACE=90度,所以,CE垂直AC.
所以,BD垂直AC.
证明：过点A作直径AE,交⊙O于点E,连结EC,EB.
所以,角ABE=角ACE=90度.(直径所对的圆周角是直角）
所以,AB^2+BE^2=AE^2=4R^2（勾股定理）
因为：
AB的平方+CD的平方=4R的平方,
所以,CD=BE.
所以,EC平行BD,
角ACE=90度,所以,CE垂直AC.
所以,BD垂直AC.