数学
数列{an}中满足a1=a，an+1=12−an．（1）求出a2，a3，a4．（2）猜想通项公式an（3）用数学归纳法证明通项公式．

2019-04-14

数列{an}中满足a1=a，an+1=
1
2−an
．
（1）求出a2，a3，a4．
（2）猜想通项公式an
（3）用数学归纳法证明通项公式．
优质解答
（1）∵a1=a，an+1=
1
2−an
，
∴a2＝
1
2−a
，a3＝
2−a
3−2a
，a4＝
3−2a
4−3a
；
（2）由（1）猜想通项公式an＝
(n−1)−(n−2)a
n−(n−1)a
；
（3）①n=1时，成立，
②假设n=k时成立，即ak=
(k−1)−(k−2)a
k−(k−1)a
，
则n=k+1时，ak+1=
1
2−ak
=
1
2−
(k−1)−(k−2)a
k−(k−1)a
=
k−(k−1)a
k+1−ka
，
即n=k+1时，成立．
由①②可知an＝
(n−1)−(n−2)a
n−(n−1)a
． （1）∵a1=a，an+1=
1
2−an
，
∴a2＝
1
2−a
，a3＝
2−a
3−2a
，a4＝
3−2a
4−3a
；
（2）由（1）猜想通项公式an＝
(n−1)−(n−2)a
n−(n−1)a
；
（3）①n=1时，成立，
②假设n=k时成立，即ak=
(k−1)−(k−2)a
k−(k−1)a
，
则n=k+1时，ak+1=
1
2−ak
=
1
2−
(k−1)−(k−2)a
k−(k−1)a
=
k−(k−1)a
k+1−ka
，
即n=k+1时，成立．
由①②可知an＝
(n−1)−(n−2)a
n−(n−1)a
．
相关问答