首项是A1公比是Q的等比数列的通项公式是AN＝A1×Q的N－1次方,前N项和的公式是SN＝1－Q分之A1[1－Q的N次方]用数学归纳法证明
2019-05-30
首项是A1公比是Q的等比数列的通项公式是AN＝A1×Q的N－1次方,前N项和的公式是SN＝1－Q分之A1[1－Q的N次方]
用数学归纳法证明
优质解答
默认q≠1.
①当n=1时,
S(1)=a(1)=a(1)[1-(q^1)]/(1-q)=a(1),
可见成立；
②假设n=k时成立,即
S(k)=a(1)[1-(q^k)]/(1-q)
成立,
则n=k+1时,
S(k+1)=S(k)+a(k+1)
=a(1)[1-(q^k)]/(1-q)+a(1)(q^k)
=a(1)/(1-q)×[1-(q^k)+(q^k)(1-q)]
=a(1)/(1-q){1-[q^(k+1)]}
=a(1){1-[q^(k+1)]}/(1-q)
可见,n=k+1时也成立.
综上,题目的前n项和公式成立.
默认q≠1.
①当n=1时,
S(1)=a(1)=a(1)[1-(q^1)]/(1-q)=a(1),
可见成立；
②假设n=k时成立,即
S(k)=a(1)[1-(q^k)]/(1-q)
成立,
则n=k+1时,
S(k+1)=S(k)+a(k+1)
=a(1)[1-(q^k)]/(1-q)+a(1)(q^k)
=a(1)/(1-q)×[1-(q^k)+(q^k)(1-q)]
=a(1)/(1-q){1-[q^(k+1)]}
=a(1){1-[q^(k+1)]}/(1-q)
可见,n=k+1时也成立.
综上,题目的前n项和公式成立.