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（2014•乌鲁木齐模拟）2013年12月14日嫦娥三号成功实现了月球表面软着陆．嫦娥三号着陆前，先在距月球表面高度为h的圆轨道上运行，经过变轨进入远月点高度为h、近月点高度忽略不计的椭圆轨道上运行，为下一步月面软着陆做准备．已知月球半径为R，月球质量为M．（1）求嫦娥三号在距月球表面高度为h的圆轨道上运行的周期T1；（2）在开普勒第三定律a3T2=k中，常数k可由嫦娥三号在圆轨道上运行的规律推出．求嫦娥三号在椭圆轨道上运行的周期T2．

2019-04-28

（2014•乌鲁木齐模拟）2013年12月14日嫦娥三号成功实现了月球表面软着陆．嫦娥三号着陆前，先在距月球表面高度为h的圆轨道上运行，经过变轨进入远月点高度为h、近月点高度忽略不计的椭圆轨道上运行，为下一步月面软着陆做准备．已知月球半径为R，月球质量为M．
（1）求嫦娥三号在距月球表面高度为h的圆轨道上运行的周期T1；
（2）在开普勒第三定律
a3
T2
=k中，常数k可由嫦娥三号在圆轨道上运行的规律推出．求嫦娥三号在椭圆轨道上运行的周期T2．
优质解答
（1）对圆轨道，由牛顿第二定律和万有引力定律
   G
Mm
(R+h)2
=m（
2π
T1
）2（R+h）
解得T1=2π（R+h）
R+h
GM

（2）对椭圆轨道，由开普勒第三定律
  
(R+
h
2
)3
T
2
2
=K
对圆轨道  K=
(R+h)2
T
2
1
＝
GM
4π2

解得T2＝π(2R+h)
2R+h
2GM

答：
（1）嫦娥三号在距月球表面高度为h的圆轨道上运行的周期T1是2π（R+h）
R+h
GM
．
（2）嫦娥三号在椭圆轨道上运行的周期T2是π（2R+h）
2R+h
2GM
． （1）对圆轨道，由牛顿第二定律和万有引力定律
   G
Mm
(R+h)2
=m（
2π
T1
）2（R+h）
解得T1=2π（R+h）
R+h
GM

（2）对椭圆轨道，由开普勒第三定律
  
(R+
h
2
)3
T
2
2
=K
对圆轨道  K=
(R+h)2
T
2
1
＝
GM
4π2

解得T2＝π(2R+h)
2R+h
2GM

答：
（1）嫦娥三号在距月球表面高度为h的圆轨道上运行的周期T1是2π（R+h）
R+h
GM
．
（2）嫦娥三号在椭圆轨道上运行的周期T2是π（2R+h）
2R+h
2GM
．
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