数学
在数列an中,a1=1/2 an+1=3an/an+3 求a2 a3 a4 a5?在数列an中,a1=1/2 an+1=3an/an+3 求a2 a3 a4 a5?猜想an的表达式,并用数学归纳法证明

2019-04-14

在数列an中,a1=1/2 an+1=3an/an+3 求a2 a3 a4 a5?
在数列an中,a1=1/2 an+1=3an/an+3 求a2 a3 a4 a5?猜想an的表达式,并用数学归纳法证明
优质解答
a(n+1)=3an/(an+3)
a2=(3*1/2)/(1/2+3)=(3/2)/(7/2)=3/7
a3=(3*3/7)/(3/7+3)=(9/7)/(24/7)=9/24=3/8
a4=(3*3/8)/(3/8+3)=(9/8)/(27/8)=9/27=3/9
.
an=3/(n+5)
证明:(1)当n=1时,a1=3/6=1/2, 命题成立
(2)设n=k时,ak=3/(k+5)成立.
则n=k+1时有
a(k+1)=3ak/(ak+3)={9/[k+5]}/3[1/(k+5)+1]=[3/(k+5)]/[(k+6)/(k+5)]=3/(k+6)=3/[(k+1)+5]
所以a(k+1)=3/[(k+1)+5]
对于n∈N+都成立.
a(n+1)=3an/(an+3)
a2=(3*1/2)/(1/2+3)=(3/2)/(7/2)=3/7
a3=(3*3/7)/(3/7+3)=(9/7)/(24/7)=9/24=3/8
a4=(3*3/8)/(3/8+3)=(9/8)/(27/8)=9/27=3/9
.
an=3/(n+5)
证明:(1)当n=1时,a1=3/6=1/2, 命题成立
(2)设n=k时,ak=3/(k+5)成立.
则n=k+1时有
a(k+1)=3ak/(ak+3)={9/[k+5]}/3[1/(k+5)+1]=[3/(k+5)]/[(k+6)/(k+5)]=3/(k+6)=3/[(k+1)+5]
所以a(k+1)=3/[(k+1)+5]
对于n∈N+都成立.
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