设首项为a1,公比为q不等于1（容易验证q=1时S3,S9,S6不成等比数列)；则Sn=a1(1-q^n)/(1-q).
由 (S9)^2=S3S6得到
(a1)^2(1-q^9)^2/(1-q)^2=(a1)^2(1-q^3)(1-q^6)/(1-q)^2;即
(1-q^9)^2=(1-q^3)(1-q^6);
1-2q^9+q^18=1-q^3-q^6+q^9;
q^18-3q^9+q^6+q^3=0;
q^15-3q^6+q^3+1=0;
q^6(q^9-1)-(2q^6-q^3-1)=0;
q^6(q^3-1)(q^6+q^3+1)-(2q^3+1)(q^3-1)=0;
(q^3-1)(q^12+q^9+q^6-2q^3-1)=0; 因为q不等于1,故
q^12+q^9+q^6-2q^3-1=0;
(q^12-1)+q^3(q^6+q^3-2)=0;
(q^6+1)(q^3+1)(q^3-1)+q^3(q^3-1)(q^3+2)=0;因为q不等于1,故消去q^3-1得到
q^9+2q^6+3q^3+1=0;
令q^3=x,则
x^3+2x^2+3x+1=0.
三次方程理论上有求根公式. 设首项为a1,公比为q不等于1（容易验证q=1时S3,S9,S6不成等比数列)；则Sn=a1(1-q^n)/(1-q).
由 (S9)^2=S3S6得到
(a1)^2(1-q^9)^2/(1-q)^2=(a1)^2(1-q^3)(1-q^6)/(1-q)^2;即
(1-q^9)^2=(1-q^3)(1-q^6);
1-2q^9+q^18=1-q^3-q^6+q^9;
q^18-3q^9+q^6+q^3=0;
q^15-3q^6+q^3+1=0;
q^6(q^9-1)-(2q^6-q^3-1)=0;
q^6(q^3-1)(q^6+q^3+1)-(2q^3+1)(q^3-1)=0;
(q^3-1)(q^12+q^9+q^6-2q^3-1)=0; 因为q不等于1,故
q^12+q^9+q^6-2q^3-1=0;
(q^12-1)+q^3(q^6+q^3-2)=0;
(q^6+1)(q^3+1)(q^3-1)+q^3(q^3-1)(q^3+2)=0;因为q不等于1,故消去q^3-1得到
q^9+2q^6+3q^3+1=0;
令q^3=x,则
x^3+2x^2+3x+1=0.
三次方程理论上有求根公式.