概率论：（坐等!） 设X,Y均为标准化随机变量,且有ρ（XY）=1/2,令Z1=aX,Z2=bX+cY.试确定a,b,c的值,使得D（Z1）=D（Z2）=1,且Z1,Z2不相关.a=+-1,b=1/（根号3）,c=-2/根号3 或 a=+-1,b=-1/根号3,c=2/根号3
2019-04-22
概率论：（坐等!） 设X,Y均为标准化随机变量,且有ρ（XY）=1/2,令Z1=aX,Z2=bX+cY.
试确定a,b,c的值,使得D（Z1）=D（Z2）=1,且Z1,Z2不相关.
a=+-1,b=1/（根号3）,c=-2/根号3 或 a=+-1,b=-1/根号3,c=2/根号3
优质解答
∵D(Z1)=D(aX)=E((aX)^2)-(E(aX))^2=a^2*E(X^2)-0=a^2=1
∴a=+-1
∵D(Z2)=D(bX+cY)=E((bX+cY)^2)-(E(bX+cY))^2=b^2*E(X^2)+2bc*E(XY)+c^2*E(Y^2)-0=b^2+2bc*E(XY)+c^2
又∵ρ（XY）=1/2,∴E(XY)=1/2,∴D(Z2)=b^2+bc+c^2=1 ①
∵Z1,Z2不相关,∴cov(Z1,Z2)=E(Z1Z2)-E(Z1)*E(Z2)=E(ab*X^2+ac*XY)-0=0
即ab+1/2*ac=0,b+1/2*c=0 ②
联立①②,解得b=1/（根号3）,c=-2/根号3或b=-1/根号3,c=2/根号3
综上a=+-1,b=1/（根号3）,c=-2/根号3 或 a=+-1,b=-1/根号3,c=2/根号3
∵D(Z1)=D(aX)=E((aX)^2)-(E(aX))^2=a^2*E(X^2)-0=a^2=1
∴a=+-1
∵D(Z2)=D(bX+cY)=E((bX+cY)^2)-(E(bX+cY))^2=b^2*E(X^2)+2bc*E(XY)+c^2*E(Y^2)-0=b^2+2bc*E(XY)+c^2
又∵ρ（XY）=1/2,∴E(XY)=1/2,∴D(Z2)=b^2+bc+c^2=1 ①
∵Z1,Z2不相关,∴cov(Z1,Z2)=E(Z1Z2)-E(Z1)*E(Z2)=E(ab*X^2+ac*XY)-0=0
即ab+1/2*ac=0,b+1/2*c=0 ②
联立①②,解得b=1/（根号3）,c=-2/根号3或b=-1/根号3,c=2/根号3
综上a=+-1,b=1/（根号3）,c=-2/根号3 或 a=+-1,b=-1/根号3,c=2/根号3