数学
高一数学题,求详细过程定义域在R上的函数满足: 1.对任意s,t属于R,都有f(s+t)=f(s)+f(t)+st; 2. f(3)=6; 3. 对任意x>0,有f(x)>0.(1)证明函数f(x)在0到正无穷上单调递增(2)若f(2^x)+f(2^1-x)

2019-05-23

高一数学题,求详细过程
定义域在R上的函数满足: 1.对任意s,t属于R,都有f(s+t)=f(s)+f(t)+st; 2. f(3)=6; 3. 对任意x>0,有f(x)>0.
(1)证明函数f(x)在0到正无穷上单调递增
(2)若f(2^x)+f(2^1-x)
优质解答
(1).分析:如何证明函数f(x)在0到正无穷上单调递增

只需证明:当x>0时,总有f(x)>f(0)即可


证明:由题意知:对任意s,t属于R,都有f(s+t)=f(s)+f(t)+st

那么:当s=t=0时
可以得到:f(0)=f(0)+f(0)+0
即:f(0)=0


又因为:对任意x>0,有f(x)>0

因此:对任意x>0,有f(x)>f(0)

所以:函数f(x)在0到正无穷上单调递增


(2).
由题知:对任意s,t属于R,都有f(s+t)=f(s)+f(t)+st

因此:f(2^x)+f[2^(1-x)]=f{(2^x)+[2^(1-x)]}-2=f[2^x+2^(1-x)]-2



f(2^x)+f[2^(1-x)]<4

即:f[2^x+2^(1-x)]-2<4
f[2^x+2^(1-x)]<6


因为:f(3)=6

所以:f[2^x+2^(1-x)]<f(3)
又因为:函数f(x)在0到正无穷上单调递增
因此:0<2^x+2^(1-x)<3
因为:2^x+2^(1-x)>0恒成立
所以只要解出:2^x+2^(1-x)<3即可
设2^x=a>0
a+2/a<3
解得:1<a<2
也就是:1<2^x<2
得:0<x<1


附上图形,可以更直观的看出当0<2^x+2^(1-x)<3时,x的取值范围
(1).分析:如何证明函数f(x)在0到正无穷上单调递增

只需证明:当x>0时,总有f(x)>f(0)即可


证明:由题意知:对任意s,t属于R,都有f(s+t)=f(s)+f(t)+st

那么:当s=t=0时
可以得到:f(0)=f(0)+f(0)+0
即:f(0)=0


又因为:对任意x>0,有f(x)>0

因此:对任意x>0,有f(x)>f(0)

所以:函数f(x)在0到正无穷上单调递增


(2).
由题知:对任意s,t属于R,都有f(s+t)=f(s)+f(t)+st

因此:f(2^x)+f[2^(1-x)]=f{(2^x)+[2^(1-x)]}-2=f[2^x+2^(1-x)]-2



f(2^x)+f[2^(1-x)]<4

即:f[2^x+2^(1-x)]-2<4
f[2^x+2^(1-x)]<6


因为:f(3)=6

所以:f[2^x+2^(1-x)]<f(3)
又因为:函数f(x)在0到正无穷上单调递增
因此:0<2^x+2^(1-x)<3
因为:2^x+2^(1-x)>0恒成立
所以只要解出:2^x+2^(1-x)<3即可
设2^x=a>0
a+2/a<3
解得:1<a<2
也就是:1<2^x<2
得:0<x<1


附上图形,可以更直观的看出当0<2^x+2^(1-x)<3时,x的取值范围
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