12、如图 已知椭圆 x²/a²+y²/b²=1的长轴长为10,过其右焦点P(4.0)作两条互相垂直的弦AB.CD.设弦AB.CD的中点分别为M.N
(1)求该椭圆的方程
(2)线段MN是否恒过一个顶点?如果经过定点,试求出它的坐标.如果不能请说出理由
根据题意c=4,2a=10,a=5
b²=a²-c²=9
椭圆方程：x²/25+y²/9=1即9x²+25y²=225
(2)s设弦AB的斜率为k,则CD斜率为-1/k
直线AB：y=k(x-4)
直线CD：y=-1/k(x-4)
将直线y=k(x-4)代入椭圆方程
整理：(25k²+9)x²-200k²x+400k²-225=0
韦达定理：x1+x2=200k²/(25k²+9)
则点M横坐标=100k²/(25k²+9),纵坐标=-36k(/25k²+9)
同理,我们把CD直线方程代入椭圆,
整理：(9k²+25)x²-200x+400-225k²=0
则点N横坐标=100/(9k²+25),纵坐标=36k/(9k²+25)
直线MN的斜率=[36k/(9k²+25)+36k/(25k²+9)]/[(100/(9k²+25)-100k²/(25k²+9)]=34k/[25(1-k²)]
直线MN方程：y-36k/(9k²+25)={34k/[25(1-k²)]}(x-100/(9k²+25)]
整理：y={34k/[25(1-k²)]}(x-50/17)
由此,直线MN横过定点（50/17,0）
14、设A为椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1上的一动点,弦AB,AC分别过焦点F1,F2,当AC垂直于x轴时,恰好有|AF1|:|AF2|=3:1 .
求：（1）求椭圆离心率（2）设向量AF1=m向量F1B,向量AF2=n向量F2C,证明m+n为定值6
（1）设AF1=3x,则AF2=x
则3x+x=2a,x=a/2
所以AF1=3a/2,AF2=a/2
根据勾股定理
(3a/2)²=(a/2)²+(2c)²
4c²=2a²
c²/a²=1/2
e²=1/2
所以离心率e=√2/2
（2）c²=1/2a²,a²=b²+c²,所以b=c
椭圆方程变为：x²+2y²=2b²
焦点坐标F1（-b,0）,F2（b,0）
设点A（x0,y0）B（x1,y1）C（x2,y2）
m=向量AF1/向量F1B,n=向量AF2/向量F2C
即m=-y0/y1,n=-y0/y2
直线AC斜率：y0/(x0-b)
设直线AC方程：x=[(x0-b)/y0]y+b
代入椭圆方程：x²+2y²=2b²
整理：(3b-2x0)y²+2(x0-b)y0y-by0²=0(注：x0²+2y0²=2b²)
韦达定理：y0y2=-by0²/(3b-2x0)
y2=-by0/(3b-2x0)
n=-y0/y2=(3b-2x0)/b
直线AB的方程：x=[(x0+b)/y0]y-b
代入椭圆方程：x²+2y²=2b²
整理：(3b+2x0)y²-2b(x0+b)y-by0²=0
韦达定理：y0y1=-by0²/(3b+2x0)
y1=-by0/(3b+2x0)
m=-y0/y1=(3b+2x0)/b
m+n=(3b+2x0)/b+(3b-2x0)/b=6b/b=6
当AC斜率不存在的时候,即AC垂直x轴
y0=-y2,所以n=1
x0=b,m=(3b+2b)/b=5
m+n=6亦成立
证毕.
这是常见题,也比较难,如果还需要,发给你 12、如图 已知椭圆 x²/a²+y²/b²=1的长轴长为10,过其右焦点P(4.0)作两条互相垂直的弦AB.CD.设弦AB.CD的中点分别为M.N
(1)求该椭圆的方程
(2)线段MN是否恒过一个顶点?如果经过定点,试求出它的坐标.如果不能请说出理由
根据题意c=4,2a=10,a=5
b²=a²-c²=9
椭圆方程：x²/25+y²/9=1即9x²+25y²=225
(2)s设弦AB的斜率为k,则CD斜率为-1/k
直线AB：y=k(x-4)
直线CD：y=-1/k(x-4)
将直线y=k(x-4)代入椭圆方程
整理：(25k²+9)x²-200k²x+400k²-225=0
韦达定理：x1+x2=200k²/(25k²+9)
则点M横坐标=100k²/(25k²+9),纵坐标=-36k(/25k²+9)
同理,我们把CD直线方程代入椭圆,
整理：(9k²+25)x²-200x+400-225k²=0
则点N横坐标=100/(9k²+25),纵坐标=36k/(9k²+25)
直线MN的斜率=[36k/(9k²+25)+36k/(25k²+9)]/[(100/(9k²+25)-100k²/(25k²+9)]=34k/[25(1-k²)]
直线MN方程：y-36k/(9k²+25)={34k/[25(1-k²)]}(x-100/(9k²+25)]
整理：y={34k/[25(1-k²)]}(x-50/17)
由此,直线MN横过定点（50/17,0）
14、设A为椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1上的一动点,弦AB,AC分别过焦点F1,F2,当AC垂直于x轴时,恰好有|AF1|:|AF2|=3:1 .
求：（1）求椭圆离心率（2）设向量AF1=m向量F1B,向量AF2=n向量F2C,证明m+n为定值6
（1）设AF1=3x,则AF2=x
则3x+x=2a,x=a/2
所以AF1=3a/2,AF2=a/2
根据勾股定理
(3a/2)²=(a/2)²+(2c)²
4c²=2a²
c²/a²=1/2
e²=1/2
所以离心率e=√2/2
（2）c²=1/2a²,a²=b²+c²,所以b=c
椭圆方程变为：x²+2y²=2b²
焦点坐标F1（-b,0）,F2（b,0）
设点A（x0,y0）B（x1,y1）C（x2,y2）
m=向量AF1/向量F1B,n=向量AF2/向量F2C
即m=-y0/y1,n=-y0/y2
直线AC斜率：y0/(x0-b)
设直线AC方程：x=[(x0-b)/y0]y+b
代入椭圆方程：x²+2y²=2b²
整理：(3b-2x0)y²+2(x0-b)y0y-by0²=0(注：x0²+2y0²=2b²)
韦达定理：y0y2=-by0²/(3b-2x0)
y2=-by0/(3b-2x0)
n=-y0/y2=(3b-2x0)/b
直线AB的方程：x=[(x0+b)/y0]y-b
代入椭圆方程：x²+2y²=2b²
整理：(3b+2x0)y²-2b(x0+b)y-by0²=0
韦达定理：y0y1=-by0²/(3b+2x0)
y1=-by0/(3b+2x0)
m=-y0/y1=(3b+2x0)/b
m+n=(3b+2x0)/b+(3b-2x0)/b=6b/b=6
当AC斜率不存在的时候,即AC垂直x轴
y0=-y2,所以n=1
x0=b,m=(3b+2b)/b=5
m+n=6亦成立
证毕.
这是常见题,也比较难,如果还需要,发给你