数学
某投资商到一开发区投资72万元建起了一座蔬菜加工厂，经营中，第一年支出12万元，以后每年支出增加4万元，从第一年起每年蔬菜销售收入50万元．设f（n）表示前n年的纯利润总和，（f（n）=前n年的总收入-前n年的总支出-投资额72万元）．（Ⅰ）该厂从第几年开始盈利？（Ⅱ）该厂第几年年平均纯利润达到最大？并求出年平均纯利润的最大值．

2019-04-29

某投资商到一开发区投资72万元建起了一座蔬菜加工厂，经营中，第一年支出12万元，以后每年支出增加4万元，从第一年起每年蔬菜销售收入50万元．设f（n）表示前n年的纯利润总和，（f（n）=前n年的总收入-前n年的总支出-投资额72万元）．
（Ⅰ）该厂从第几年开始盈利？
（Ⅱ）该厂第几年年平均纯利润达到最大？并求出年平均纯利润的最大值．
优质解答
（ I）依题意，根据f（n）=前n年的总收入-前n年的总支出-投资额72万元
可得f（n）=50n-[12n+
n(n−1)
2
×4]-72=-2n2+40n-72
由f（n）＞0，即-2n2+40n-72＞0
解得2＜n＜18
由于n∈N+，故从第三年开始赢利．
（II）年平均纯利润
f(n)
n
＝40−2(n+
36
n
)
∵n+
36
n
≥12
∴40−2(n+
36
n
)≤16
∴
f(n)
n
≤ 16
当且仅当n=6时等号成立，此时年平均纯利润最大值为16万元，
即第6年，投资商年平均纯利润达到最大，年平均纯利润最大值16万元． （ I）依题意，根据f（n）=前n年的总收入-前n年的总支出-投资额72万元
可得f（n）=50n-[12n+
n(n−1)
2
×4]-72=-2n2+40n-72
由f（n）＞0，即-2n2+40n-72＞0
解得2＜n＜18
由于n∈N+，故从第三年开始赢利．
（II）年平均纯利润
f(n)
n
＝40−2(n+
36
n
)
∵n+
36
n
≥12
∴40−2(n+
36
n
)≤16
∴
f(n)
n
≤ 16
当且仅当n=6时等号成立，此时年平均纯利润最大值为16万元，
即第6年，投资商年平均纯利润达到最大，年平均纯利润最大值16万元．
相关问答