关于圆锥曲线的数学题,1、椭圆C：x^2 /a^2 + y^2 /b^2 = 1 (a>b>0)与X轴交于A、B两点,点P是椭圆C上异于A、B的任意一点,直线PA、PB分别与Y轴交于点M、N,求证：AN·BM为定值b^2 - a^2.(注：AN、BM是向量,头上有个箭头）
2019-05-27
关于圆锥曲线的数学题,
1、椭圆C：x^2 /a^2 + y^2 /b^2 = 1 (a>b>0)与X轴交于A、B两点,点P是椭圆C上异于A、B的任意一点,直线PA、PB分别与Y轴交于点M、N,求证：AN·BM为定值b^2 - a^2.(注：AN、BM是向量,头上有个箭头）
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A(-a,0),B(a,0)
设P(acosr,bsinr),
则M(0,bsinr/(1+cosr)),N(0,bsinr/(1-cosr))
向量AN=（a,bsinr/(1-cosr)）
BM=（-a,bsinr/(1+cosr)）
AN*BM=-a^2+(bsinr)^2/[（1-cosr)(1+cosr)]
=-a^2+(bsinr)^2/(1-cosr^2)
=b^2-a^2
为定值
A(-a,0),B(a,0)
设P(acosr,bsinr),
则M(0,bsinr/(1+cosr)),N(0,bsinr/(1-cosr))
向量AN=（a,bsinr/(1-cosr)）
BM=（-a,bsinr/(1+cosr)）
AN*BM=-a^2+(bsinr)^2/[（1-cosr)(1+cosr)]
=-a^2+(bsinr)^2/(1-cosr^2)
=b^2-a^2
为定值