极限问题（1）已知a>0,证明：对于每个X>0,定义为Xn+1(n+1为下标)=1/2*（Xn+a/Xn）的数列{Xn}收敛,并且lim Xn=sqrt(a)n->无穷大
2019-06-02
极限问题（1）
已知a>0,证明：
对于每个X>0,定义为Xn+1(n+1为下标)=1/2*（Xn+a/Xn）的数列{Xn}收敛,并且lim Xn=sqrt(a)
n->无穷大
优质解答
由题意得Xn>0;取b=sqrt(a);
|Xn-b|=1/2*|X(n-1)^2-2*b*X(n-1)+b^2|/X(n-1)
=(1/2)*(X(n-1)-b)^2/X(n-1)
=(1/2)/X(n-1)*(X(n-1)-b)^2
由因为Xn>0,所以由Xn=1/2(X(n-1)+a/X(n-1))
>=1/2*2*sqrt(a)=sqrt(a)＝b(均值不等式)
所以|Xn-b|=(1/2)/X(n-1)*(X(n-1)-b)^2
由题意得Xn>0;取b=sqrt(a);
|Xn-b|=1/2*|X(n-1)^2-2*b*X(n-1)+b^2|/X(n-1)
=(1/2)*(X(n-1)-b)^2/X(n-1)
=(1/2)/X(n-1)*(X(n-1)-b)^2
由因为Xn>0,所以由Xn=1/2(X(n-1)+a/X(n-1))
>=1/2*2*sqrt(a)=sqrt(a)＝b(均值不等式)
所以|Xn-b|=(1/2)/X(n-1)*(X(n-1)-b)^2