高中数列问题数列{An}的通项公式An=1/(n+1)方,记f(n)=(1-A1)(1-A2)…(1-An),试求f(1)、f(2)、f(3),推测的值,并用数学归纳法证明
2019-05-23
高中数列问题
数列{An}的通项公式An=1/(n+1)方,记f(n)=(1-A1)(1-A2)…(1-An),试求f(1)、f(2)、f(3),推测的值,并用数学归纳法证明
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A1=1/2,A2=1/9,A3=1/16
f(1)=3/4
f(2)=3/4*8/9=2/3=4/6
f(3)=2/3*15/16=5/8
猜测f(n)=Bn/Cn
B1=3,B2=4,B3=5
C1=4,C2=6,C3=8
Bn=n+2
Cn=2n+2
f(n)=(n+2)/(2n+2)
对n=1显然成立
如果f(k)=(k+2)/(2k+2)
f(k+1)=f(k)*(1-Ak+1)=(k+2)/(2k+2)*[1-1/(k+2)(k+2)]
= (k+2)[(k+2)(k+2)-1]/(2k+2)(k+2)(k+2)
=(k+1)(k+3)/2(k+1)(k+2)
=[(k+1)+2]/[2(k+1)+2]
所以对一切n都成立f(n)=(n+2)/(2n+2)
A1=1/2,A2=1/9,A3=1/16
f(1)=3/4
f(2)=3/4*8/9=2/3=4/6
f(3)=2/3*15/16=5/8
猜测f(n)=Bn/Cn
B1=3,B2=4,B3=5
C1=4,C2=6,C3=8
Bn=n+2
Cn=2n+2
f(n)=(n+2)/(2n+2)
对n=1显然成立
如果f(k)=(k+2)/(2k+2)
f(k+1)=f(k)*(1-Ak+1)=(k+2)/(2k+2)*[1-1/(k+2)(k+2)]
= (k+2)[(k+2)(k+2)-1]/(2k+2)(k+2)(k+2)
=(k+1)(k+3)/2(k+1)(k+2)
=[(k+1)+2]/[2(k+1)+2]
所以对一切n都成立f(n)=(n+2)/(2n+2)