精选问答
设S1＝1+112+122，S2＝1+122+132，S3＝1+132+142，…，Sn＝1+1n2+1(n+1)2，设S＝S1+S2+…+Sn，则S等于多少？（用含n的代数式表示，其中n为正整数）．解题方案：第一步 特殊化 即先计算特殊值S1=S2=S3=S4=第二步 猜想  Sn=第三步 证明（第二步的猜想）第四步 计算S．

2019-05-07

设S1＝1+
1
12
+
1
22
，S2＝1+
1
22
+
1
32
，S3＝1+
1
32
+
1
42
，…，Sn＝1+
1
n2
+
1
(n+1)2
，设S＝
S1
+
S2
+…+
Sn
，则S等于多少？（用含n的代数式表示，其中n为正整数）．
解题方案：
第一步 特殊化 即先计算特殊值
S1
=
S2
=
S3
=
S4
=
第二步 猜想  
Sn
=
第三步 证明（第二步的猜想）
第四步 计算S．
优质解答
S1
=
1+1+
1
4
=
3
2
，
S2
=
1+
1
4
+
1
9
=
7
6
，
S3
=
1+
1
9
+
1
16
=
13
12
，
S4
=
1+
1
16
+
1
25
=
21
20
，…，
猜想：
Sn
=1+
1
n
-
1
n+1
，
∴S=
S1
+
S2
+…+
Sn

=1+1-
1
2
+1+
1
2
-
1
3
+…+1+
1
n
-
1
n+1

=n+1-
1
n+1

=
n2+2n
n+1
．
S1
=
1+1+
1
4
=
3
2
，
S2
=
1+
1
4
+
1
9
=
7
6
，
S3
=
1+
1
9
+
1
16
=
13
12
，
S4
=
1+
1
16
+
1
25
=
21
20
，…，
猜想：
Sn
=1+
1
n
-
1
n+1
，
∴S=
S1
+
S2
+…+
Sn

=1+1-
1
2
+1+
1
2
-
1
3
+…+1+
1
n
-
1
n+1

=n+1-
1
n+1

=
n2+2n
n+1
．
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