已知,如图,在半径为根号2的圆O中,半径OA与直径BC互相垂直,点E与点F分别在弦AB、AC上滑动,并保持AE=CF,但点F不与A,C重合,点E不与B,A重合.试计算四边形AEOF的面积.设AE=x,S三角形OEF=y,写出y与x之间的函数关系式,并写出自变量的取值范围.当S三角形OEF=5/18S三角形ABC时,求E、F两点之间的距离
2019-06-24
已知,如图,在半径为根号2的圆O中,半径OA与直径BC互相垂直,点E与点F分别在弦AB、AC上滑动,并保持AE=CF,但点F不与A,C重合,点E不与B,A重合.
试计算四边形AEOF的面积.
设AE=x,S三角形OEF=y,写出y与x之间的函数关系式,并写出自变量的取值范围.
当S三角形OEF=5/18S三角形ABC时,求E、F两点之间的距离
优质解答
因为半径OA与直径BC互相垂直
所以AB＝BC,∠B＝∠C＝45
AC＝√2OA
因为OA＝R＝√2
所以AC＝2
作EM⊥BC,FN⊥BC,设AE＝X
因为AE=CF
则EM＝BE/√2＝（2-X）/√2
FN＝FC/√2＝X/√2
AEOF面积＝△ABC面积-△BEO面积-△CFO面积
＝AB×AC/2-EM×BO/2-FN×CO/2
＝2×2/2-[（2-X）/√2] ×√2/2-（X/√2）×√2/2
＝1
△AEF面积＝AE×AF/2＝X×（2-X）/2＝（2X-X²）/2
△OEF面积Y＝AEOF面积-△AEF面积＝1-（2X-X²）/2＝X²/2-X+1
Y＝X²/2-X+1（0＜X＜2）
当S三角形OEF=5/18S三角形ABC时
X²/2-X+1＝5×（ AB×AC/2）/18＝5/9
X²-2X+2＝10/9
EF²＝AE²+AF²＝X²+（2-X）²＝2X²-4X+4＝2（X²-2X+2）＝20/9
EF＝2√5/3
因为半径OA与直径BC互相垂直
所以AB＝BC,∠B＝∠C＝45
AC＝√2OA
因为OA＝R＝√2
所以AC＝2
作EM⊥BC,FN⊥BC,设AE＝X
因为AE=CF
则EM＝BE/√2＝（2-X）/√2
FN＝FC/√2＝X/√2
AEOF面积＝△ABC面积-△BEO面积-△CFO面积
＝AB×AC/2-EM×BO/2-FN×CO/2
＝2×2/2-[（2-X）/√2] ×√2/2-（X/√2）×√2/2
＝1
△AEF面积＝AE×AF/2＝X×（2-X）/2＝（2X-X²）/2
△OEF面积Y＝AEOF面积-△AEF面积＝1-（2X-X²）/2＝X²/2-X+1
Y＝X²/2-X+1（0＜X＜2）
当S三角形OEF=5/18S三角形ABC时
X²/2-X+1＝5×（ AB×AC/2）/18＝5/9
X²-2X+2＝10/9
EF²＝AE²+AF²＝X²+（2-X）²＝2X²-4X+4＝2（X²-2X+2）＝20/9
EF＝2√5/3