高中数学平面向量问题补充： 在三角形ABC中，AB=3,AC=4,∠BAC=60°,若P是ABC内一点，且AP=2，则向量PB·向量PC的最大值为 答案是10＋2√37
2019-04-19
高中数学平面向量
问题补充： 在三角形ABC中，AB=3,AC=4,∠BAC=60°,若P是ABC内一点，且AP=2，则向量PB·向量PC的最大值为____ 答案是10＋2√37
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PB=PA+AB,PC=PA+AC,故：PB·PC=(PA+AB)·(PA+AC)
=|PA|^2+AB·AC+PA·AC+PA·AB=|PA|^2+AB·AC+PA·(AB+AC)
=4+|AB|*|AC|*cos(π/3)+PA·(AB+AC)=10+PA·(AB+AC)
=10+|PA|*|AB+AC|*cos(PA,AB+AC)
而：|AB+AC|^2=(AB+AC)·(AB+AC)=|AB|^2+|AC|^2+2AB·AC
=9+16+12=37,其实取BC边中点D,AB+AC=2AD
故当P点在AD上时,即：AP与AD同向时,PA·(AB+AC)取得最大值：2sqrt(37)
故PB·PC的最大值是：10+2sqrt(37)
PB=PA+AB,PC=PA+AC,故：PB·PC=(PA+AB)·(PA+AC)
=|PA|^2+AB·AC+PA·AC+PA·AB=|PA|^2+AB·AC+PA·(AB+AC)
=4+|AB|*|AC|*cos(π/3)+PA·(AB+AC)=10+PA·(AB+AC)
=10+|PA|*|AB+AC|*cos(PA,AB+AC)
而：|AB+AC|^2=(AB+AC)·(AB+AC)=|AB|^2+|AC|^2+2AB·AC
=9+16+12=37,其实取BC边中点D,AB+AC=2AD
故当P点在AD上时,即：AP与AD同向时,PA·(AB+AC)取得最大值：2sqrt(37)
故PB·PC的最大值是：10+2sqrt(37)