新课标高中数学圆锥曲线题椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的一个焦点为F(2,0),且过点(0,√2).(1)求椭圆C的方程；（2）是否存在过点F且斜率为k的直线l与椭圆C交于A、B两点,使得∠AOB为锐角?若存在,求实数k的取值范围；若不存在,请说明理由.
2019-05-27
新课标高中数学圆锥曲线题
椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的一个焦点为F(2,0),且过点(0,√2).
(1)求椭圆C的方程；
（2）是否存在过点F且斜率为k的直线l与椭圆C交于A、B两点,使得∠AOB为锐角?若存在,求实数k的取值范围；若不存在,请说明理由.
优质解答
因为 x^2/a^2+y^2/b^2=1 将（2,0） （0,√2）带入进去 a^2=6 b^2=2
所以椭圆C 的方程为 x^2/6+y^2/2=1①
（2)假设存在这样的直线 设直线方程为x=ty+2②
所以有OA^2+OB^2>AB^2
①②联立得到 （t^2+3)y^2+4ty-2=0
y1+y2=-4t/(t^2+3） y1+y2=-2/(t^2+3)
(y1-y2)^2=(y1+y2)^2-4y1y2=24(t^2+1)/(t^2+3)^2
所以AB^2=24(t^2+1)^2/(t^2+3)^2
0A^2+OB^2=(20t^2+12)(t^2+1)/(t^2+3)-16t^2/(t^2+3)+8
所以 24(t^2+1)^2/(t^2+3)^2
因为 x^2/a^2+y^2/b^2=1 将（2,0） （0,√2）带入进去 a^2=6 b^2=2
所以椭圆C 的方程为 x^2/6+y^2/2=1①
（2)假设存在这样的直线 设直线方程为x=ty+2②
所以有OA^2+OB^2>AB^2
①②联立得到 （t^2+3)y^2+4ty-2=0
y1+y2=-4t/(t^2+3） y1+y2=-2/(t^2+3)
(y1-y2)^2=(y1+y2)^2-4y1y2=24(t^2+1)/(t^2+3)^2
所以AB^2=24(t^2+1)^2/(t^2+3)^2
0A^2+OB^2=(20t^2+12)(t^2+1)/(t^2+3)-16t^2/(t^2+3)+8
所以 24(t^2+1)^2/(t^2+3)^2