精选问答
在各项均为正数的数列{an}中，数列的前n项和为Sn满足Sn＝12(an+1an)．（1）求a1，a2，a3的值，并根据规律猜想出数列{an}的通项公式；（2）请用数学归纳法证明你的猜想．

2019-05-23

在各项均为正数的数列{an}中，数列的前n项和为Sn满足Sn＝
1
2
(an+
1
an
)．
（1）求a1，a2，a3的值，并根据规律猜想出数列{an}的通项公式；
（2）请用数学归纳法证明你的猜想．
优质解答
（1）∵Sn＝
1
2
(an+
1
an
)，
∴令n=1得，a1=1；令n=2得a2=
2
-1；令n=3得a3=
3
-
2
；
猜想an=
n
-
n−1
；
（2）①n=1时，结论成立；
②假设n=k时，结论成立，即ak=
k
-
k−1
，
则ak+1=Sk+1-Sk=
1
2
(ak+1+
1
ak+1
)-
1
2
(ak+
1
ak
)，化简可得ak+1=
k+1
-
k
，
即n=k+1时，结论成立．
由①②可得an=
n
-
n−1
． （1）∵Sn＝
1
2
(an+
1
an
)，
∴令n=1得，a1=1；令n=2得a2=
2
-1；令n=3得a3=
3
-
2
；
猜想an=
n
-
n−1
；
（2）①n=1时，结论成立；
②假设n=k时，结论成立，即ak=
k
-
k−1
，
则ak+1=Sk+1-Sk=
1
2
(ak+1+
1
ak+1
)-
1
2
(ak+
1
ak
)，化简可得ak+1=
k+1
-
k
，
即n=k+1时，结论成立．
由①②可得an=
n
-
n−1
．
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