某超市经销一种销售成本为每件40元的商品．据市场调查分析，如果按每件50元销售，一周能售出500件，若销售单价每涨1元，每周销售量就减少10件．设销售单价为每件x元（x≥50），一周的销售量为y件．（1）写出y与x的函数关系式．（标明x的取值范围）（2）设一周的销售利润为S，写出S与x的函数关系式，并确定当单价在什么范围内变化时，利润随着单价的增大而增大？（3）在超市对该种商品投入不超过10 000元的情况下，使得一周销售利润达到8 000元，销售单价应定为多少？
2019-05-28
某超市经销一种销售成本为每件40元的商品．据市场调查分析，如果按每件50元销售，一周能售出500件，若销售单价每涨1元，每周销售量就减少10件．设销售单价为每件x元（x≥50），一周的销售量为y件．
（1）写出y与x的函数关系式．（标明x的取值范围）
（2）设一周的销售利润为S，写出S与x的函数关系式，并确定当单价在什么范围内变化时，利润随着单价的增大而增大？
（3）在超市对该种商品投入不超过10 000元的情况下，使得一周销售利润达到8 000元，销售单价应定为多少？
优质解答
（1）由题意得：
y=500-10（x-50）=1000-10x（50≤x≤100）（3分）
（2）S=（x-40）（1000-10x）=-10x2+1400x-40000=-10（x-70）2+9000
当50≤x≤70时，利润随着单价的增大而增大．（6分）
（3）由题意得：-10x2+1400x-40000=8000
10x2-1400x+48000=0
x2-140x+4800=0
即（x-60）（x-80）=0
x1=60，x2=80（8分）
当x=60时，成本=40×[500-10（60-50）]=16000＞10000不符合要求，舍去．
当x=80时，成本=40×[500-10（80-50）]=8000＜10000符合要求．
∴销售单价应定为80元，才能使得一周销售利润达到8000元的同时，投入不超过10000元．（10分）
（1）由题意得：
y=500-10（x-50）=1000-10x（50≤x≤100）（3分）
（2）S=（x-40）（1000-10x）=-10x2+1400x-40000=-10（x-70）2+9000
当50≤x≤70时，利润随着单价的增大而增大．（6分）
（3）由题意得：-10x2+1400x-40000=8000
10x2-1400x+48000=0
x2-140x+4800=0
即（x-60）（x-80）=0
x1=60，x2=80（8分）
当x=60时，成本=40×[500-10（60-50）]=16000＞10000不符合要求，舍去．
当x=80时，成本=40×[500-10（80-50）]=8000＜10000符合要求．
∴销售单价应定为80元，才能使得一周销售利润达到8000元的同时，投入不超过10000元．（10分）