数学
勾股定理是世界上最伟大的定理之一，是用代数思想解决几何问题的重要工具，也是数形结合的纽带，周老师在上八年级《从勾股定理到图形面积关系的拓展》一节拓展课时，教学环节清晰，内容安排有序，问题设计合理（如下），作为课堂主人的你，请积极思考解决下列问题：【知识回顾】勾股定理反映了直角三角形三条边之间的关系：a2+b2=c2，而a2，b2，c2又可以看成是以a，b，c为边长的正方形面积，因此，勾股定理也可以表述为：分别以直角三角形两条直角边为边长的两个正方形的面积之和，等于以斜边为边长的正方形的面积（如图1），即S

2019-05-07

勾股定理是世界上最伟大的定理之一，是用代数思想解决几何问题的重要工具，也是数形结合的纽带，周老师在上八年级《从勾股定理到图形面积关系的拓展》一节拓展课时，教学环节清晰，内容安排有序，问题设计合理（如下），作为课堂主人的你，请积极思考解决下列问题：
【知识回顾】
勾股定理反映了直角三角形三条边之间的关系：a2+b2=c2，而a2，b2，c2又可以看成是以a，b，c为边长的正方形面积，因此，勾股定理也可以表述为：分别以直角三角形两条直角边为边长的两个正方形的面积之和，等于以斜边为边长的正方形的面积（如图1），即S1+S2=S3．
【问题探究】
作业帮
（1）如果以直角三角形三条边a，b，c为直径，向形外分别作半圆（如图2），那么三个半圆的面积为S1，S2，S3之间存在怎样的关系？请直接写出你认为正确的结论：___；
（2）类似地，上述结果是否适合其他图形？适合的，请你在图3中以直角三角形的三条边a，b，c为边，向形外画出图形（示意图），指出你所画的图形名称是：___，并写出证明过程；不存在的，请说明理由．
【拓展应用】
（1）如图4，已知在Rt△ABC中，∠ACB=Rt∠，AB=4，分别以AC、BC为直径作半圆，面积分别记为S2、S1，则S1+S2的值等于___；
（2）在Rt△ABC中，∠BAC=Rt∠，分别以AB，AC为直径作半圆，以BC为直径作半圆刚好经过点A（如图5所示），若AB=4，AC=3，则两个月牙形（阴影部分）的面积之和即S1+S2=___．
优质解答
问题探究：（1）结论：S1+S2=S3．理由如下：
∵S3=
π
8
c2，S2=
π
8
b2，S1=
π
8
a2，a2+b2=c2，
∴S1+S2=S3．
故答案为S1+S2=S3．

（2）等边三角形或等腰直角三角形．
如图3中，以直角三角形的三条边a，b，c为边，向外作等边三角形，如图所示，
作业帮
∵S1=
3
4
a2，S2=
3
4
b2，S3=
3
4
c2，a2+b2=c2，
∴S2+S3=S1．
等腰三角形时证明方法类似．
故答案为等边三角形或等腰直角三角形．

拓展应用：（1）如图2中，∵S1+S2=S3，S3=
π
8
c2=
π
8
×16=2π．
故答案为2π．

2） 如图5中，
作业帮
△ABC中，∵AB2+AC2=BC2
∴S1+S2=
1
2
π（AB）2+
1
2
π（
1
2
AC）2-
1
2
π（
1
2
BC）2+S△ABC=
1
8
π（BC2+AC2-AB2）+S△ABC=S△ABC=
1
2
×3×4=6．
故答案为6． 问题探究：（1）结论：S1+S2=S3．理由如下：
∵S3=
π
8
c2，S2=
π
8
b2，S1=
π
8
a2，a2+b2=c2，
∴S1+S2=S3．
故答案为S1+S2=S3．

（2）等边三角形或等腰直角三角形．
如图3中，以直角三角形的三条边a，b，c为边，向外作等边三角形，如图所示，
作业帮
∵S1=
3
4
a2，S2=
3
4
b2，S3=
3
4
c2，a2+b2=c2，
∴S2+S3=S1．
等腰三角形时证明方法类似．
故答案为等边三角形或等腰直角三角形．

拓展应用：（1）如图2中，∵S1+S2=S3，S3=
π
8
c2=
π
8
×16=2π．
故答案为2π．

2） 如图5中，
作业帮
△ABC中，∵AB2+AC2=BC2
∴S1+S2=
1
2
π（AB）2+
1
2
π（
1
2
AC）2-
1
2
π（
1
2
BC）2+S△ABC=
1
8
π（BC2+AC2-AB2）+S△ABC=S△ABC=
1
2
×3×4=6．
故答案为6．
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