如图，已知直角坐标系中四点A（-2，4）、B（-2，0）、C（2，-3）、D（2，0）．若点P在x轴上，且PA、PB、AB所围成的三角形与PC、PD、CD所围成的三角形相似，则所有符合上述条件的点P的个数是（ ）A．1个B．2个C．3 个D．4个
2019-05-03
如图，已知直角坐标系中四点A（-2，4）、B（-2，0）、C（2，-3）、D（2，0）．若点P在x轴上，且PA、PB、AB所围成的三角形与PC、PD、CD所围成的三角形相似，则所有符合上述条件的点P的个数是（ ）
A．1个
B．2个
C．3 个
D．4个
优质解答
设OP=x（x＞0），分三种情况：
一、若点P在AB的左边，如图1，有两种可能：
①此时△ABP∽△PDC，则PB：CD=AB：PD，
则（x-2）：3=4：（x+2）
解得x=4，
∴点P的坐标为（-4，0）；
②若△ABP∽△CDP，则AB：CD=PB：PD，
则（x-2）：（x+2）=4：3
解得：x=-14
不存在．
二、若点P在AB与CD之间，如图2，有两种可能：
①若△ABP∽△CDP，则AB：CD=BP：PD，
∴4：3=（x+2）：（2-x）
解得：x=，
∴点P的坐标为（，0）；
②若△ABP∽△PDC，则AB：PD=BP：CD，
∴4：（2-x）=（x+2）：3，
方程无解；
三、若点P在CD的右边，如图3，有两种可能：
①若△ABP∽△CDP，则AB：CD=BP：PD，
∴4：3=（2+x）：（x-2），
∴x=14，
∴点P的坐标为（14，0），
②若△ABP∽△PDC，则AB：PD=BP：CD，
∴4：（x-2）=（x+2）：3，
∴x=4，
∴点P的坐标为（4，0）；
∴点P的坐标为（，0）、（14，0）、（4，0）、（-4，0）．
故选：D．
设OP=x（x＞0），分三种情况：
一、若点P在AB的左边，如图1，有两种可能：
①此时△ABP∽△PDC，则PB：CD=AB：PD，
则（x-2）：3=4：（x+2）
解得x=4，
∴点P的坐标为（-4，0）；
②若△ABP∽△CDP，则AB：CD=PB：PD，
则（x-2）：（x+2）=4：3
解得：x=-14
不存在．
二、若点P在AB与CD之间，如图2，有两种可能：
①若△ABP∽△CDP，则AB：CD=BP：PD，
∴4：3=（x+2）：（2-x）
解得：x=，
∴点P的坐标为（，0）；
②若△ABP∽△PDC，则AB：PD=BP：CD，
∴4：（2-x）=（x+2）：3，
方程无解；
三、若点P在CD的右边，如图3，有两种可能：
①若△ABP∽△CDP，则AB：CD=BP：PD，
∴4：3=（2+x）：（x-2），
∴x=14，
∴点P的坐标为（14，0），
②若△ABP∽△PDC，则AB：PD=BP：CD，
∴4：（x-2）=（x+2）：3，
∴x=4，
∴点P的坐标为（4，0）；
∴点P的坐标为（，0）、（14，0）、（4，0）、（-4，0）．
故选：D．