请各位数学专业请教一个极限问题lim (x->+∞) e^x ∞ ------------------ 为什么是---- 我认为应该是当x->+∞（1+1/x)^（x^2）= （1+1/x)^（x^2） ∞ [（1+1/x)^x ]^x=e^x（利用极限公式： lim (1+1/x)^x=e)
2019-05-04
请各位数学专业请教一个极限问题
lim (x->+∞) e^x ∞
------------------ 为什么是---- 我认为应该是当x->+∞（1+1/x)^（x^2）=
（1+1/x)^（x^2） ∞
[（1+1/x)^x ]^x=e^x
（利用极限公式： lim (1+1/x)^x=e)
x--->+∞
所以我认为 lim (x->+∞) e^x
------------------ =1
（1+1/x)^（x^2）
但是答案上面把式子写成 e^x e
------------------ =[-----------]^x,然后他是这么说的:“在lim（x->+∞)
（1+1/x)^（x^2） (1+1/x)^x
e
[-----------]^x中,虽然lim（x->+∞）（1+1/x）^x=e,但是也不能用e来替换（1+1/x）^x,
(1+1/x)^x
而变成求极限lim（x->+∞）1^∞,为了理解这样替换不合理,可以从变量的变化速度来说明:当（1+1/x)^x换成e,那么说明已经令其中的变量x-->∞ ,所以幂指数中的x却没有同时取极限,这与在整个极限中x必须同时趋于+∞相矛盾.”这句话怎么理解呢
优质解答
举个最直接的例子：
lim(x-+∞) （1+1/x）^x
括号内的极限显然是1,如果直接替换成1,原式=
lim(x-+∞) （1）^x=1
这显然是错的.
因为在(1+1/x)逐渐减小到1的每一步它的幂又把它放大了,而且这个幂增大的幅度也在增大.你想想是不是这样呢?
先求括号内的极限,再求整个幂的极限,那就是把每步的减小和放大强硬地分离成整体的减小再整体放大.然而这个方法在大多数情况下都是错的,这种强硬的变换丢失了很多信息,而且重要的是,丢失这些信息对整个极限过程是不能忽略不计的.
所以我们做替换,一定要保证“信息的完整”,就是答案中所说的“要同时取极限”、在整个极限中x必须同时趋于+∞.
我们平时做题中做的替换,都是无穷小量的替换,比如x->0时,ln(1+x)可以替换成x,因为这种替换虽然丢失了信息,但丢失的信息都是可以忽略不计的无穷小量,它们是被人证明了的,证明的方法,就是楼上兄弟所说的泰勒公式,而且用泰勒公式我们可以通过余项控制信息的丢失多少,使得它相对于整个极限过程,可以“忽略不计”.
举个最直接的例子：
lim(x-+∞) （1+1/x）^x
括号内的极限显然是1,如果直接替换成1,原式=
lim(x-+∞) （1）^x=1
这显然是错的.
因为在(1+1/x)逐渐减小到1的每一步它的幂又把它放大了,而且这个幂增大的幅度也在增大.你想想是不是这样呢?
先求括号内的极限,再求整个幂的极限,那就是把每步的减小和放大强硬地分离成整体的减小再整体放大.然而这个方法在大多数情况下都是错的,这种强硬的变换丢失了很多信息,而且重要的是,丢失这些信息对整个极限过程是不能忽略不计的.
所以我们做替换,一定要保证“信息的完整”,就是答案中所说的“要同时取极限”、在整个极限中x必须同时趋于+∞.
我们平时做题中做的替换,都是无穷小量的替换,比如x->0时,ln(1+x)可以替换成x,因为这种替换虽然丢失了信息,但丢失的信息都是可以忽略不计的无穷小量,它们是被人证明了的,证明的方法,就是楼上兄弟所说的泰勒公式,而且用泰勒公式我们可以通过余项控制信息的丢失多少,使得它相对于整个极限过程,可以“忽略不计”.