请数学高手解释高数中这道关于方向导数的例题：设由原点到（x、y）的向径为r,从x轴正向沿逆时针方向例题：设由原点到（x、y）的向径为r,从x轴正向沿逆时针方向到r的转角为θ,求函数r=√x^2+y^2沿任一方向l={cosα cosβ}的方向导数.因为 ∂r/∂x=x/r=cosθ,∂r/∂y=y/r=sinθ,∂r/∂l=∂r/∂x cosα +∂r/∂xy cosβ=cosθcosα
2019-05-30
请数学高手解释高数中这道关于方向导数的例题：设由原点到（x、y）的向径为r,从x轴正向沿逆时针方向
例题：设由原点到（x、y）的向径为r,从x轴正向沿逆时针方向到r的转角为θ,求函数r=√x^2+y^2沿任一方向l={cosα cosβ}的方向导数.
因为 ∂r/∂x=x/r=cosθ,∂r/∂y=y/r=sinθ,
∂r/∂l=∂r/∂x cosα +∂r/∂xy cosβ=cosθcosα +sinθcosβ=cosθcosα +sinθsinα =cos(α -θ)
特别地,当α =θ时,函数r沿着向径本身的方向的方向导数为1；而当α =θ±π/2时,函数r沿着与向径垂直的方向上的方向导数为0.
请问：1、在这道题中角α 和θ有什么区别?α 和θ不是指同一个角吗?
2、这道题中的坐标系是一个xy的平面直角坐标系,还是一个xyz的空间立体直角坐标系?α 和θ分别代表什么位置的角度?
优质解答
α、β是平面坐标系内任一方向l 对应的方向角,任意取值.
θ是平面上点P(x,y)对应的一个角,实为极坐标系下点P的极角（这里告诉你了r和θ,其实就是极坐标系了）.函数的定义域内的每一个点对应一个θ
这里是平面坐标系
α、β是平面坐标系内任一方向l 对应的方向角,任意取值.
θ是平面上点P(x,y)对应的一个角,实为极坐标系下点P的极角（这里告诉你了r和θ,其实就是极坐标系了）.函数的定义域内的每一个点对应一个θ
这里是平面坐标系