抛物线高中数学问题已知抛物线y2=4x的焦点为F,过点P(2,0)的直线交抛物线于A(x1,x2),B(x1,x2)俩点,直线AF,BF分别与抛物线交于点M,N.记直线MN的斜率为k1,直线AB的斜率为k2,证明:k1/k2为定值
2019-05-23
抛物线高中数学问题
已知抛物线y2=4x的焦点为F,过点P(2,0)的直线交抛物线于A(x1,x2),B(x1,x2)俩点,直线AF,BF分别与抛物线交于点M,N.
记直线MN的斜率为k1,直线AB的斜率为k2,证明:k1/k2为定值
优质解答
设AB：y=k(x+2)
设A(x1,y1),B(x2,y2),
C(x3,y3),D(x4,y4)
∴ AM的方程是y=[y1/(x1-1)](x-1)
设 k0=y1/(x1-1)
则 AM：y=k0(x-1)
与抛物线方程联立
∴ k0²(x-1)²=4x
∴ k0²-(2k0²+4)x+k0²=0
利用韦达定理
x3*x1=1
∴ x3=1/x1
∴ y3=k0(x3-1)=[y1/(x1-1)]*[1/x1-1]=-y1/x1
即 M(1/x1,-y1/x1)
同理 N(1/x2,-y2/x2)
∴ k(MN)=(-y1/x1+y2/x2)/[1/x1-1/x2]
=[-y1x2+x1y2]/(x2-x1)
=[-k(x1+2)x2+k(x2+2)x1]/(x2-x1)
=k(2x2-2x1)/(x2-x1)
=k*2
∴ K(MN)/k(AB)=2
即 k(MN)/k(AB)=2
∴ k1/k2=2
∴ k1/k2是定值,为2
抱歉,原来的解答最后的几步输入错误,重新改动了.
设AB：y=k(x+2)
设A(x1,y1),B(x2,y2),
C(x3,y3),D(x4,y4)
∴ AM的方程是y=[y1/(x1-1)](x-1)
设 k0=y1/(x1-1)
则 AM：y=k0(x-1)
与抛物线方程联立
∴ k0²(x-1)²=4x
∴ k0²-(2k0²+4)x+k0²=0
利用韦达定理
x3*x1=1
∴ x3=1/x1
∴ y3=k0(x3-1)=[y1/(x1-1)]*[1/x1-1]=-y1/x1
即 M(1/x1,-y1/x1)
同理 N(1/x2,-y2/x2)
∴ k(MN)=(-y1/x1+y2/x2)/[1/x1-1/x2]
=[-y1x2+x1y2]/(x2-x1)
=[-k(x1+2)x2+k(x2+2)x1]/(x2-x1)
=k(2x2-2x1)/(x2-x1)
=k*2
∴ K(MN)/k(AB)=2
即 k(MN)/k(AB)=2
∴ k1/k2=2
∴ k1/k2是定值,为2
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