（2013•淄博）分别以▱ABCD（∠CDA≠90°）的三边AB，CD，DA为斜边作等腰直角三角形，△ABE，△CDG，△ADF．（1）如图1，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时，连接GF，EF．请判断GF与EF的关系（只写结论，不需证明）；（2）如图2，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时，连接GF，EF，（1）中结论还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．
2019-04-29
（2013•淄博）分别以▱ABCD（∠CDA≠90°）的三边AB，CD，DA为斜边作等腰直角三角形，△ABE，△CDG，△ADF．
（1）如图1，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时，连接GF，EF．请判断GF与EF的关系（只写结论，不需证明）；
（2）如图2，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时，连接GF，EF，（1）中结论还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．
优质解答
（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠DAB+∠ADC=180°，
∵△ABE，△CDG，△ADF都是等腰直角三角形，
∴DG=CG=AE=BE，DF=AF，∠CDG=∠ADF=∠BAE=45°，
∴∠GDF=∠GDC+∠CDA+∠ADF=90°+∠CDA，
∠EAF=360°-∠BAE-∠DAF-∠BAD=270°-（180°-∠CDA）=90°+∠CDA，
∴∠FDG=∠EAF，
∵在△EAF和△GDF中，
，
∴△EAF≌△GDF（SAS），
∴EF=FG，∠EFA=∠DFG，即∠GFD+∠GFA=∠EFA+∠GFA，
∴∠GFE=90°，
∴GF⊥EF，GF=EF；
（2）GF⊥EF，GF=EF成立；
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠DAB+∠ADC=180°，
∵△ABE，△CDG，△ADF都是等腰直角三角形，
∴DG=CG=AE=BE，DF=AF，∠CDG=∠ADF=∠BAE=45°，
∴∠BAE+∠DAF+∠EAF+∠ADF+∠FDC=180°，
∴∠EAF+∠CDF=45°，
∵∠CDF+∠GDF=45°，
∴∠FDG=∠EAF，
∵在△GDF和△EAF中，
，
∴△GDF≌△EAF（SAS），
∴EF=FG，∠EFA=∠DFG，即∠GFD+∠GFA=∠EFA+∠GFA，
∴∠GFE=90°，
∴GF⊥EF，GF=EF．
（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠DAB+∠ADC=180°，
∵△ABE，△CDG，△ADF都是等腰直角三角形，
∴DG=CG=AE=BE，DF=AF，∠CDG=∠ADF=∠BAE=45°，
∴∠GDF=∠GDC+∠CDA+∠ADF=90°+∠CDA，
∠EAF=360°-∠BAE-∠DAF-∠BAD=270°-（180°-∠CDA）=90°+∠CDA，
∴∠FDG=∠EAF，
∵在△EAF和△GDF中，
，
∴△EAF≌△GDF（SAS），
∴EF=FG，∠EFA=∠DFG，即∠GFD+∠GFA=∠EFA+∠GFA，
∴∠GFE=90°，
∴GF⊥EF，GF=EF；
（2）GF⊥EF，GF=EF成立；
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠DAB+∠ADC=180°，
∵△ABE，△CDG，△ADF都是等腰直角三角形，
∴DG=CG=AE=BE，DF=AF，∠CDG=∠ADF=∠BAE=45°，
∴∠BAE+∠DAF+∠EAF+∠ADF+∠FDC=180°，
∴∠EAF+∠CDF=45°，
∵∠CDF+∠GDF=45°，
∴∠FDG=∠EAF，
∵在△GDF和△EAF中，
，
∴△GDF≌△EAF（SAS），
∴EF=FG，∠EFA=∠DFG，即∠GFD+∠GFA=∠EFA+∠GFA，
∴∠GFE=90°，
∴GF⊥EF，GF=EF．