数学
如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，DA⊥AB，CD=2，AB=3，AD=7，在线段AD上能否找到一个点P，使得以点P、A、B为顶点的三角形和以点P、C、D为顶点的三角形相似？若能，共有几个符合条件的点P？并求相应的PD的长；若不能，说明理由．

2019-05-03

如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，DA⊥AB，CD=2，AB=3，AD=7，在线段AD上能否找到一个点P，使得以点P、A、B为顶点的三角形和以点P、C、D为顶点的三角形相似？若能，共有几个符合条件的点P？并求相应的PD的长；若不能，说明理由．
优质解答
能相似．
如图：∵在直角梯形ABCD中，AB∥CD，DA⊥AB，
∴∠A=∠D=90°，
设PD=x，
∵CD=2，AB=3，AD=7，
则PA=AD-PD=7-x，
∴①当
CD
AB
＝
PD
PA
时，△PCD∽△PBA，
则
2
3
＝
x
7−x
，
解得：x=
14
5
，
∴PD=
14
5
；
②当
CD
PA
＝
PD
AB
时，△PCD∽△BPA，
则
2
7−x
＝
x
3
，
解得：x=1或x=6，
∴PD=1或6，
∴这样的点有3个，PD的长为
14
5
或1或6． 能相似．
如图：∵在直角梯形ABCD中，AB∥CD，DA⊥AB，
∴∠A=∠D=90°，
设PD=x，
∵CD=2，AB=3，AD=7，
则PA=AD-PD=7-x，
∴①当
CD
AB
＝
PD
PA
时，△PCD∽△PBA，
则
2
3
＝
x
7−x
，
解得：x=
14
5
，
∴PD=
14
5
；
②当
CD
PA
＝
PD
AB
时，△PCD∽△BPA，
则
2
7−x
＝
x
3
，
解得：x=1或x=6，
∴PD=1或6，
∴这样的点有3个，PD的长为
14
5
或1或6．
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